P8774 [蓝桥杯 2022 省 A] 爬树的甲壳虫

原题

首先第一眼显然是$dp$题

这里提供两种做法

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方法1：

设$d{p}_i$表示从$0\to i$的期望次数，容易得到：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_i& =\sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}(P_i^{j-1}\times (1-P_i)\times (d{p}_{i-1}+1)\times j)\text{(2)}& & =(1-P_i)\times (d{p}_{i-1}+1)\times \sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}(P_i^{j-1}\times j)\text{(3)}& & =(d{p}_{i-1}+1)\times \sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{P}_i^j\text{(4)}& & =\frac{d{p}_{i-1}+1}{1-P_i}\text{(5)}& & =\frac{d{p}_{i-1}+1}{1-\frac{x_i}{y_i}}\text{(6)}& & =\frac{y_i\times (d{p}_{i-1}+1)}{y_i-x_i}\end{array}$$

最后只需要写一个快速幂来计算$inv(y_i-x_i)$即可，最终复杂度$O(nlogn)$，复杂度瓶颈在于快速幂

ps: 这里有一个结论：失败后没有回退的这种期望在该路径上的大小为$\frac{1}{P}$，其中$P$为成功的概率

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方法2：

我们发现正着计算$j\to +\mathrm{\infty }$，是不太好处理的。正难则反，我们考虑倒着$dp$

不妨设$d{p}_i$表示从$i\to n$的期望步数

容易得到：

$$d{p}_i=(1-P_i)\times d{p}_{i+1}+P_i\times d{p}_0+1$$

但我们发现这个递推式显然存在一个问题：我们无法计算出$d{p}_0$的值

因此我们考虑用解方程的方法得到$d{p}_0$的值，方法如下：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& d{p}_0& =(1-P_1)\times d{p}_1+P_1\times d{p}_0+1\text{(8)}& & =(1-P_1)\times ((1-P_2)\times d{p}_2+P_2\times d{p}_0+1)+P_1\times d{p}_0+1\text{(9)}& & =(1-P_1)\times (1-P_2)\times d{p}_2+(1-P_1)\times P_2\times d{p}_0+(1-P_1)+P_1\times d{p}_0+1\text{(10)}& & =(1-P_1)\times (1-P_2)\times d{p}_2+d{p}_0\times ((1-P_1)\times P_2+P_1)+(1-P_1)+1\text{(11)}& & =...\text{(12)}& & =d{p}_n\times \prod _{i=1}^n(1-P_i)+d{p}_0\times \sum _{i=1}^n(P_i\times \prod _{j=1}^{i-1}(1-P_j))+\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^{i-1}(1-P_j)\end{array}$$

其中容易发现$d{p}_n=0$，且我们不妨设

$$\begin{array}{}\text{(13)}& A& =\sum _{i=1}^n(P_i\times \prod _{j=1}^{i-1}(1-P_j))\text{(14)}& B& =\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^{i-1}(1-P_j)\end{array}$$

我们容易求得$A,B$的值，我们把他们看成常数，带入原式后容易得到：

$$\begin{array}{}\text{(15)}& d{p}_0& =d{p}_0\times A+B\text{(16)}& & =\frac{B}{1-A}\end{array}$$

即为答案，最终复杂度$O(nlogn)$，瓶颈仍在快速幂