CF1823E

原题

翻译

前置知识：SG函数

首先容易发现这是一个组合型组合博弈问题，因此我们先对于每一个子问题单独考虑

容易发现对于一个环我们进行第一次操作会把他拆成一个链，因此我们考虑链的$SG$函数

设$f_i$表示长为$i$的链的$SG$函数值，容易得到转移：

$$f_i=me{x}_{j\in [l,r],k=0->i-j}{f}_k\oplus f_{i-j-k}$$

同理，设$g_i$表示长为$i$的环的$SG$函数值，容易得到转移：

$$g_i=me{x}_{j\in [l,r]}{f}_{i-j}$$

然后打表后发现虽然$f_i$没什么规律，但是$g_i$有规律

$$g_i=\{\begin{array}{ll}\lfloor \frac{i}{l}\rfloor ,& (i<l+r)\\ 0,& (i\ge l+r)\end{array}$$

最终复杂度$O(n)$，瓶颈在于并查集找环