CF1824B2

原题

翻译

首先根据猜结论数学归纳法可以想到在$k$为奇数时答案依然是$1$

因此我们只考虑$k$是偶数的情况

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方法1：

容易想到好点相当于这棵树上只考虑$k$个关键点的中心

则显然根据重心定义，我们枚举每个点为重心的情况，则对于他的每个儿子，我们可以用dp或者容斥原理来从中选出$\le \frac{k}{2}$个点，这里重点说一下容斥原理

因为发现对于每个儿子最多有一个儿子内选的点的个数$>\frac{k}{2}$，因此我们枚举是哪个儿子的子树选了这么多的点，可以得到答案$\sum _{(u,v)\in E}\sum _{i=\frac{k}{2}+1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_v}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-si{z}_v}{k-i})$

这样我们就可以得到一个$O(n^2)$的做法，但这个做法显然不够优秀

我们考虑优化一下做法，显然$dp$是没法再优化的，因此我们考虑优化容斥

设$f_x=\sum _{i=\frac{k}{2}+1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x}{k-i})$

观察$f_x$的组合意义，我们发现$f_{x+1}$相对与$f_x$多的部分实际上就是前$x$个数恰好选了$i+1$个，和前$x$个数选$i$个第$x+1$个数必须选的情况

因此可以得到$f_{x+1}=f_x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{\frac{k}{2}})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x-1}{k-\frac{k}{2}-1})$

于是我们可以实现$O(n)$预处理$O(n)$计算，总复杂度$O(n)$

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方法2：

首先可以证明好点一定对应树上的一个连通块，根据重心的定义，这是显然的(其实限制更严格，答案在树上是一条链，但这里不需要这么严格的限制)

我们考虑计算树上的点并不好算，但如果对于一条边$(u,v)\in E$中$u$和$v$都是好点，则把边$(u,v)$切开分成的两棵树中关键点的个数显然是一样的

而且由于答案在树上是一个联通快，我们可以通过联通块内边的个数+1得到联通快内点的个数

因此我们对于每条边考虑他左右两边各选$\frac{k}{2}$的方案数，答案即为：

$$\sum _{(u,v)\in E}(\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_u}{\frac{k}{2}})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-si{z}_u}{\frac{k}{2}})$$

同样可以做到$O(n)$