CF1824B1

原题

翻译

这题不算难，但我想错了

当$k=1$时，答案就是关键点；当$k=3$时，答案就是三个节点组成路径的中间点(我想成了是一条路径)，因此对于这两种情况我们只需要输出1即可

而当$k=2$时答案才是一条路径，因此我们考虑怎么计算$k=2$的情况

我们反向思考，考虑对于每个点，看当他作为好点(以下设这个点为$x$)时2个关键节点可以怎么选

我们发现答案有两种情况：

• 两个节点都在以$x$为根的子树里，并且他们不在同一个$x$的儿子的子树里

• 一个节点在以$x$为根的子树里，但另一个节点在$x$子树外

我们只需要对这两种情况分别计算贡献即可

定义$si{z}_i$表示$x$点第$i$个儿子子树大小，$s_i$表示$i$点儿子个数，则对于点$x$，第一种情况答案为

$$\sum _{i=1}^{s_x-1}\sum _{j=i+1}^{s_x}si{z}_{i}si{z}_j=\frac{(\sum _{i=1}^{s_x}si{z}_i{)}^2-\sum _{i=1}^{s_x}si{z}_i^2}{2}$$

别忘记加上第二种情况即可

最终复杂度$O(n)$