CF1830C

原题

翻译

前置知识：$catalan$数

首先我们先考虑如果没有线段怎么做

我们容易发现如果$n$为奇数肯定无解，如果$n$为偶数答案为第$\frac{n}{2}$个$catalan$数

然后我们考虑如果两个线段相交这里会产生什么影响，即对于线段$[l_1,r_1]$和$[l_2,r_2]$满足$l_1\le l_2\le r_1\le r_2$，我们容易发现其方案数等价与三个线段内的括号序列合法：

• $[l_1,l_2-1]$

• $[l_2,r_1]$

• $[r_1+1,r_2]$

我们考虑如果两个线段重叠会产生什么影响，即对于线段即对于线段$[l_1,r_1]$和$[l_2,r_2]$满足$l_1\le l_2\le r_2\le r_1$，我们容易发现其方案数等价与两个线段内的括号序列合法：

• $[l_2,r_2]$

• $[l_1,l_2-1]\cup [r_2+1,r_1]$

于是我们可以得出结论：设$S_i$表示$i$位置被$S_i$集合内的线段覆盖。则所有$S_i$相同的位置可以单独计算贡献，所有方案相乘即为答案

于是我们考虑一些奇技淫巧随机化算法

我们为每一个线段赋一个随机权值$b_i$，让区间$[l,r]$内所有位置异或上这个随机权值

则对于$S_i,S_j$值不同的两个位置$i,j$，将以高概率$a_i,a_j$不同；相反的，如果$S_i,S_j$值相同，高概率$a_i,a_j$也相同

因此我们只需要对$a_i$离散化后对每一个相同的$a_i$单独计算贡献，所有方案相乘即为答案

最终复杂度$O(nlogn)$，复杂度瓶颈在排序