CF1839E

原题

翻译

直接说结论：如果存在一种方案使得序列中最后得到的数为0，则后手必胜，否则一定先手必胜

证明：如果存在一种方案满足条件，则无论对面选什么数，我们都可以选一个数，来引导对方向我们的决策走；相反的，如果不存在这样一种方案，我们无论如何操作都无法走向决策

这时直接暴力处理，复杂度为$O(n^n)$，无法接受

但我们发现我们这些操作相当于为每一个数加上正负号，并且保证必须至少有一个负号

于是我们可以优化一下暴力，暴力枚举正负号，复杂度$O(2^n)$

我们再考虑优化，我们可以把数分成两类，使得两类内所有数的和相等，如果存在这样一种方案，则后手必胜，否则一定先手必胜

证明：如果对方每次从某一类中取出一个数，我们可以在另一类中取出另一个数，把他们差的绝对值塞回去

这就变成了能否凑出两组数的和相等，这变成了一个背包问题，我们可以$O(n^3)$解决这个问题