容易想到 $O (n m)$ 的做法

$d p_{i, j}$ 表示考虑前 $i$ 个 $b$ 序列，已经匹配了前 $j$ 个 $a$ 序列的方案数

我们可以贪心的让 $a_{i}$ 能匹配就匹配，换言之如果我们确定了 $a_{i}$ 在 $b_{j}$ 位置匹配上，那我们要保证在 $b_{j}$ 到和 $a_{i - 1}$ 匹配的位置中不能出现数字 $a_{i}$

容易得到递推柿子：

d p_{i, j} = d p_{i - 1, j - 1} + d p_{i - 1, j} \times (K - 1 + [j = n])

其中 $\times (K - 1)$ 的原因是保证 $a_{i}$ 每次和最小的位置匹配， $[j = n]$ 则因为 $a_{n}$ 在匹配后后面的部分可以随便选

我们发现这个做法不太能优化了，正难则反，我们考虑用总的贡献减去不合法的贡献

首先考虑总的情况，显然是 $k^{m}$

对于不合法的贡献，我们不妨表示为匹配上了前 $i$ 位但未匹配到 $i + 1$ 位的情况，我们不妨设它出现的方案数为 $f_{i}$

则我们可以得到 $f_{i} = (\binom{m}{i}) (k - 1)^{m - i}$ 其中 $(\binom{m}{i})$ 表示从 $m$ 个中选 $i$ 个位置，这些位置钦定他们匹配 $a_{i}$ 的前 $i$ 位， $k - 1$ 的原因是对于序列 $b$ 的每个位置 $j$ ，如果他没有被钦定，他都要保证不能匹配到下一个被钦定的位置。对于最后若干个位置，因为我们让他不匹配到 $i + 1$ ，不妨理解成让 $m + 1$ 位置钦定为填 $a_{i + 1}$ ，所以前面若干个位置不能填 $a_{i + 1}$ ，所以也是 $k - 1$ 种可能