CF1840F

原题

翻译

首先先说一个我想的错误的做法

因为从$(0,0)\to (i,j)$肯定是时间越短越好，因为如果时间长了不妨在$(i,j)$等一会，这样答案肯定不劣于走的慢的

于是直接设$d{p}_{i,j}$表示从$(0,0)\to (i,j)$的最短时间

然后你就被骗到了

因为第一句话的显然是完全错误的，因为你只能向右和向下走，假如你当前在$(i,j)$想走到$(i,j+1)$，但这时突然在第$i$行放炮，你就会发现你无路可走，只能受到炮击

下面开始说正解：

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先考虑一个比较暴力的状态：$d{p}_{i,j,t}$表示从$(0,0)\to (i,j)$，在$(i,j)$时时间为$t$是否可行

容易得到递推式：

$$d{p}_{i,j,t}=d{p}_{i-1,j,t-1}|d{p}_{i,j-1,t-1}|d{p}_{i,j,t-1}$$

但这个做法时间和空间复杂度都为$O(n^2{m}^2)$，是很难卡过去的

于是我们考虑优化一下状态，我们容易发现$i+j\le t\le i+j+r$

所以我们可以设$d{p}_{i,j,t}$表示从$(0,0)\to (i,j)$，在$(i,j)$时时间为$i+j+t$是否可行

容易得到递推式：

$$d{p}_{i,j,t}=d{p}_{i-1,j,t}|d{p}_{i,j-1,t}|d{p}_{i,j,t}$$

最终复杂度$O(nmr)$