CF1835D

原题

翻译

好题！图论用数论的解法真的很巧妙

首先注意读题，要恰好等于$k$，因为我看错了

这题有没有边权都是可以做的，为了使这个做法更具普遍性，我们假设原题有边权

可以发现对于满足条件的点对$(x,y)$至少要满足他们在一个强联通分量内，所以我们可以在每一个强联通分量内计算答案

对于这个强联通分量内的$q$个环，把他们的环长分别记作$le{n}_i$，则由裴蜀定理可知，定义$d=\underset{i=1}{\overset{q}{gcd}}le{n}_i$，则对与$d|s$，我们一定可以构造出长为$s$的答案

但看到这个数据范围，我们肯定不能直接暴力计算所有环的长度，于是我们考虑通过别的方法求解$d$

我声称，对于一正整数$p$，$p|d$的充要条件是找到一个数组$di{s}_i$满足对于原图所有的边$(u,v,w)$，满足$di{s}_v-di{s}_u\equiv w(\mathrm{mod}p)$

下面证明其充要性：

• 充分性：

  对于原图的某一个环，记其上所有边的编号所构成的集合为$S$，则必有$\sum _{i\in S}{w}_i\equiv \sum _{i\in S}(di{s}_v-di{s}_u)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$即保证了$p|len$

• 必要性：

  考虑构造证明，对于这个强联通图建任意一棵生成树，对于树边$(u,v,w)$，我们令$di{s}_v=di{s}_u+w$

  对于某一个返祖边，我们可以用类似于充分性的证法证明此构造满足条件

  对于某一个横叉边，它如果只和树边结合是无法生成环的，但如果加入返祖边，我们可以通过以下操作构造“反向边”：

  对于一条边$(u,v,w)$，我们想构造其反向边$(v,u,-w)$。由于图强联通，所以我们可以找到任意一条$v\to u$的路径，这时显然形成了一个环，从$v$开始绕这个环$p-1$次，再走$v\to u$的路径走到$u$点，容易得到走过路径长度$dist(v,u)\times p+w\times (p-1)\equiv -w(\mathrm{mod}p)$

  于是我们通过这种方法构造了一个经过横叉边的环，通过类似于证明充分性的方法可以证明此构造合法；

  前向边证法类似于横叉边

根据以上证明我们可以构造出数组$di{s}_i$，这个数组在$\mathrm{mod}p$下成立是$p|d$的充要条件，因此$d=\underset{i=1}{\overset{m}{gcd}}(di{s}_v-di{s}_u-w)$

求出$d$后不难发现对于点对$(x,y)$成为答案的条件是$di{s}_x-di{s}_y\equiv di{s}_y-di{s}_x\equiv k(\mathrm{mod}d)$

容易知道要么$k\equiv 0(\mathrm{mod}d)$，要么$k\equiv \frac{d}{2}(\mathrm{mod}d)$

如果不满足条件，直接输出0即可；否则我们可以开一个桶记录之前出现过的所有$di{s}_x\mathrm{mod}d$

总复杂度$O(n+m)$