CF1860D

原题

翻译

补题的时候想了半天交换后对01和10个数的影响，写了半天的dp才发现前面的修改会影响0和1的个数(我是shabi)

不过我感觉应该还是可做的

直接说正解。首先显然我们不需要同时记录0的个数和1的个数，因为知道一个可以通过$i-cnt$得到另一个

仔细一想，我们其实也不需要同时记录$cnt01$和$cnt10$的个数。因为原题的操作是交换，所以总的0和1的个数是不会改变的，而且容易得到如果$cnt01=cnt10$，则$cnt01=cnt10=\frac{cnt0\times cnt1}{2}$

所以我们可以设$d{p}_{i,cnt0,cnt01}$表示前$i$个数有$cnt0$个0，$cnt01$个01的最少交换次数

容易得到递推柿：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_{i,cnt0,cnt01}& \leftarrow d{p}_{i-1,cnt0-1,cnt01}(a_i=0)\text{(2)}& d{p}_{i,cnt0,cnt01}& \leftarrow d{p}_{i-1,cnt0,cnt01-cnt0}+1(a_i=0)\text{(3)}& d{p}_{i,cnt0,cnt01}& \leftarrow d{p}_{i-1,cnt0,cnt01-cnt0}(a_i=1)\text{(4)}& d{p}_{i,cnt0,cnt01}& \leftarrow d{p}_{i-1,cnt0-1,cnt01}+1(a_i=1)\end{array}$$

最终答案即为$d{p}_{n,cnt0,\frac{cnt0\times cnt1}{2}}$

总复杂度$O(n^4)$