P7154 [USACO20DEC] Sleeping Cows P

原题

我们先思考如果没有极大匹配这个限制该怎么做

ysx曾经说过：dp要先考虑递推顺序

看到这个题的限制$s_i\le t_i$，可以想到这题要先按照$s_i$和$t_i$的顺序排序

不妨设$d{p}_{i,j}$表示考虑了前$i$个奶牛和前$j$个牛棚的方案书，容易得到$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j-1}$

然后我们考虑如果加上了极大匹配的性质要怎么做

我们发现对于一个牛棚$t_i$，他能和所有$s_i\le t_i$的奶牛进行匹配(废话)

所以我们就可以发现对于一个牛棚，他不被匹配上的条件是不存在任何一个为被匹配的奶牛$s_i$满足$s_i\le t_i$

也说明如果对于某一个奶牛$s_i$被钦定为不匹配，那在之后的所有牛棚都必须找一个能与之匹配的奶牛与之匹配(也就是说在这之后的牛棚不能不匹配)

因此我们可以把$s_i$和$t_i$放在一起排序，假定所有奶牛和牛棚无相等的大小关系

不妨设$d{p}_{i,j,k}$表示考虑所有$\le i$的奶牛和牛棚，其中有$j$个未被分配的奶牛和$k$个被钦定为不再匹配的奶牛的方案数

1. 如果当前是牛棚，可以得到

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_{i,j,0}& =dpi-1,j,0+(j+1)\times d{p}_{i-1,j+1,0}\text{(2)}& d{p}_{i,j,k}& =(j-k+1)\times d{p}_{i-1,j+1,k}(k\ne 0)\end{array}$$

2. 如果当前是奶牛，可以得到

$$\begin{array}{}\text{(3)}& d{p}_{i,j,0}& =d{p}_{i-1,j-1,0}\text{(4)}& d{p}_{i,j,k}& =d{p}_{i-1,j-1,k-1}+d{p}_{i-1,j-1,k}\end{array}$$

可以发现我们并不在乎当前有多少奶牛被钦定为不匹配，而只在乎是否存在被钦定为不匹配的奶牛

因此第三维可以被压成状态$0/1$，并定义$j$为有$j$个想要被分配而未被分配的奶牛，换言之被钦定为不分配的不算在$j$内

可以得到dp柿子：

1. 如果当前是牛棚，可以得到

$$\begin{array}{}\text{(5)}& d{p}_{i,j,0}& =dpi-1,j,0+(j+1)\times d{p}_{i-1,j+1,0}\text{(6)}& d{p}_{i,j,k}& =(j+1)\times d{p}_{i-1,j+1,1}\end{array}$$

2. 如果当前是奶牛，可以得到

$$\begin{array}{}\text{(7)}& d{p}_{i,j,0}& =d{p}_{i-1,j-1,0}\text{(8)}& d{p}_{i,j,1}& =d{p}_{i-1,j,0}+d{p}_{i-1,j,1}+d{p}_{i-1,j-1,1}\end{array}$$

最后原题会卡空间，所以只需要加上一个滚动数组优化即可

最终复杂度$O(n^2)$