P7116 [NOIP2020] 微信步数

原题

简化题意：
有一个 k 维场地，第 i 维宽为 wi，即第 i 维的合法坐标为 1, 2, · · · ,wi。
小 C 有一个长为 n 的行动序列，第 i 元素为二元组 (ci, di)，表示这次行动小 C 的坐标由 (x1, x2, . . . , xci, . . . , xk) 变为(x1, x2, . . . , xci + di, . . . , xk)。小 C 会将行动序列重复无限次，直到走出这个场地。
接下来，小 C 会以场地中的每个整点为起点，按照行动序列走直到走出场地。小 C 想知道他一共会走几步。
答案对1e9 + 7取模
$n <= 5 e 5, k <= 10, w i <= 1 e 9, d i \in - 1, 1$

首先因为每一位是独立的，我们不妨把k维拆开

我们可以发现如果枚举每个位置并模拟走路过程复杂度必然爆炸，故此我们考虑改变记录答案的方式

我们考虑对于每个移动次数 $i$ 多有少个起点走 $i$ 步还没有走出去，如果没有会产生+1的贡献

我们不妨设 $i = k \times n + j$ ，我们只需要考虑j不同即可，因为在 $i \mod n$ 的情况下每个数只有初始位置是不同的

定义 $s_{d}$ 表示走了一个周期(即走了一个循环)后这一维的变化量， $p r e m a x_{i, d}$ 表示 $d$ 这一维走前 $i$ 步时的前缀最小位移， $p r e m i n_{i, d}$ 表示 $d$ 这一维走前 $i$ 时的前缀最大位移

对于从 $x_{d}$ 开始走了 $k$ 个完整周期又走了 $i$ 步的第 $d$ 维，要满足以下条件：

当 $s_{d} > 0$ ，我们可以发现走了 $i$ 步后依然没有走出去的条件要求：
1. $x_{d} + p r e m i n_{n, d} \geq 1$ ，意思是这个点的坐标在第一周期任何一步都>= 1，而又因为 $s_{d} > 0$ ，所以在任意时间都>=1
2. $x_{d} + s_{d} \times k + p r e m a x_{i, d} \leq w_{i}$ ，意思是这个点的坐标在最后一个周期后走的 $i$ 步内 $\leq w_{i}$
3. $x_{d} + s_{d} \times (k - 1) + p r e m a x_{n, d} \leq w_{i}$ ，意思是这个点坐标在最后一个周期走完后位置 $\leq w_{i}$ ，而又因为 $s_{d} > 0$ ，所以在任意时间都 $\leq w_{i}$
- 合并后即为 $1 - p r e m a x_{n, d} \leq x_{d} \leq w_{i} - s_{d} \times k - max (p r e m a x_{i, d}, p r e m a x_{n, d} - s_{d})$
当 $s_{d} < 0$ 时，相同的，可以得到： $1 - s_{d} \times k - min (p r e m i n_{i, d}, p r e m i n_{n, d} - s_{d}) \leq x_{d} \leq w_{i} - p r e m a x_{n, d}$
对于 $s_{d} = 0$ ，可以得到： $1 - p r e m i n_{n, d} \leq x_{d} \leq w_{i} - p r e m a x_{n, d}$

我们可以发现我们在计算时已经枚举了 $i$ , $d$ ，所以在这个柿子中只有 $k$ 为未知数

而且可以发现，k越大这个范围的区间肯定越小。因此对于每一维，我们可以通过二分的方法算出 $k$ 最大的取值 $l i m_{d}$ 。但我们肯定不能直接暴力，不然复杂度会直接爆炸。这里怎么处理到后面再说

对于每一个 $k \in [0, l i m_{d}]$ ，对答案的贡献即为 $\prod_{d} (r_{d} - l_{d} + 1)$ ，其中 $l_{d}, r_{d}$ 表示 $d$ 这维的 $x_{d}$ 能取到的起点上下界。

根据前面的推到， $r_{d} - l_{d} + 1$ 是一个关于 $k$ 的一次函数，而若干个一次函数乘在一起，就形成了关于 $k$ 的一个多项式，我们记作 $f (x) = \prod_{d} (r_{d} - l_{d} + 1)$ ，因此答案 $= \sum_{i = 1}^{min {l i m_{d}}} f (i)$ ，然后使用插值计算即可。