扩展KMP
扩展KMP:
给出模板串A和子串B,长度分别为lenA和lenB,要求在线性时间内,对于每个A[i](0<=i<lenA),求出A[i..lenA-1]与B的最长公共前缀长度,记为ex[i](或者说,ex[i]为满足A[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值)。
扩展KMP可以用来解决很多字符串问题,如求一个字符串的最长回文子串和最长重复子串。
【算法】
【算法】
设next[i]为满足B[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值(也就是B的自身匹配)。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出,要用它们来求ex[i]的值。
设p为目前A[k..lenA-1]串中匹配到的最远位置,即p=k+ex[k]-1。显然,p之后的所有位都是未知的,也就是目前还无法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
设p为目前A[k..lenA-1]串中匹配到的最远位置,即p=k+ex[k]-1。显然,p之后的所有位都是未知的,也就是目前还无法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
根据ex的定义可得,A[k..p]==B[0..p-k],因为i>k,所以又有A[i..p]==B[i-k..p-k],
设L=next[i-k],则根据next的定义有B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]。考虑i-k+L-1与p-k的关系:
(1)i-k+L-1<p-k,即i+L<=p。这时,由A[i..p]==B[i-k..p-k]可以得到
A[i..i+L-1]==B[i-k..i-k+L-1],又因为B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]所以A[i..i+L-
1]==B[0..L-1],这就说明ex[i]>=L。又由于next的定义可得,A[i+L]必然不等于B[L](否则A[i..i+L]==B[0..L],因为i+L<=p,所以A[i..i+L]==B[i-k..i-k+L],这样B[0..L]==B[i-k..i-k+L],故next[i-k]的值应为L+1或更大),这样,可以直接得到ex[i]=L!
(2)i+k-L+1>=p-k,即i+L>p。这时,首先可以知道A[i..p]和B[0..p-i]是相等的(因为
A[i..p]==B[i-k..p-k],而i+k-L+1>=p-k,由B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]可得
B[0..p-i]==B[i-k..p-k],即A[i..p]==B[0..p-i]),然后,对于A[p+1]和B[p-i+1]是否相等,目前是不知道的(因为前面已经说过,p是目前A串中匹配到的最远位置,在p之后无法知道任何一位的匹配信息),因此,要从A[p+1]与B[p-i+1]开始往后继续匹配(设j为目前B的匹配位置的下标,一开始j=p-i+1,每次比较A[i+j]与B[j]是否相等,直到不相等或者越界为止,此时的j值就是ex[i]的值)。在这种情况下,p的值必然会得到延伸,因此更新k和p的值。
边界:ex[0]的值需要预先求出,然后将初始的k设为0,p设为ex[0]-1。
对于求next数组,也是“自身匹配”,类似KMP的方法处理即可。唯一的不同点也在边界上:可以直接知道next[0]=lenB,next[1]的值预先求出,然后初始k=1,p=ex[1]。
需 要严重注意的是,在上述的情况(2)中,本该从A[p+1]与B[p-i+1]开始匹配,但是,若p+1<i,也就是p-i+1<0(这种情 况是有可能发生的,当ex[i-1]=0,且前面的ex值都没有延伸到i及以后的时候)的话,需要将A、B的下标都加1(因为此时p必然等于i-2,如果 A、B的下标用两个变量x、y控制的话,x和y都要加1)!!
需 要严重注意的是,在上述的情况(2)中,本该从A[p+1]与B[p-i+1]开始匹配,但是,若p+1<i,也就是p-i+1<0(这种情 况是有可能发生的,当ex[i-1]=0,且前面的ex值都没有延伸到i及以后的时候)的话,需要将A、B的下标都加1(因为此时p必然等于i-2,如果 A、B的下标用两个变量x、y控制的话,x和y都要加1)!!
【时间复杂度分析】
在KMP和扩展KMP中,不管是A串还是B串,其匹配位置都是单调递增的,故总时间复杂度是线性的,都为O(lenA + lenB)(只是扩展KMP比KMP的常数更大一些)。
【应用】
KMP和扩展KMP在解决字符串问题中有大用。很多看上去很猥琐的字符串问题,都可以归结到这两种算法之中。另外,这里的“字符串”可以延伸为一切类型的数组,而不仅仅是字符数组。
在KMP和扩展KMP中,不管是A串还是B串,其匹配位置都是单调递增的,故总时间复杂度是线性的,都为O(lenA + lenB)(只是扩展KMP比KMP的常数更大一些)。
【应用】
KMP和扩展KMP在解决字符串问题中有大用。很多看上去很猥琐的字符串问题,都可以归结到这两种算法之中。另外,这里的“字符串”可以延伸为一切类型的数组,而不仅仅是字符数组。
不积跬步无以至千里,不积小流无以成江海