洛谷$1613$ 跑路

\(Des\)

给定一个有向图,起点为\(1\),终点为\(n\),所有边的长度都为\(1\).现在要从起点走到终点,每次走\(2^k\)的代价是\(1\).(这个\(k\)是任意的,但\(2^k\)不能超过\(longint\)范围).求最小代价.

\(Sol\)

最开始的想法:把距离为\(2^k\)的两个点连边,然后$ Dijkstra \(跑最短路.要处理出倍增数组\)f[i][k]\(表示从\)i$出发走\(2^k\)步到的点.发现,其实这样的点是不确定的,因为有环.

虽然并不能确定一个点走\(2^k\)步能到达的点,但是可以通过\(Floyed\)确定两个点\(i,j\)能不能走\(2^k\)到达.感觉这里有点像一个传递闭包.

\(f[k][i][j]\)表示\(i\)走\(2^k\)步能不能到达\(j\).

\(f[k][i][j]|=f[k-1][i][p]\&f[k-1][p][j]\).

这样就可以确定连边情况.然而\(n\)这么小,直接矩阵存下来跑\(Floyed\)就好了,何必写链式前向星再跑\(Dijkstra\)呢.

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define Ri register int
#define go(i,a,b) for(Ri i=a;i<=b;++i)
#define yes(i,a,b) for(Ri i=a;i>=b;--i)
#define e(i,u) for(Ri i=b[u];i;i=a[i].nt)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define db double
#define inf 2147483647
using namespace std;
il int read()
{
    Ri x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=60;
int n,m;ll f[70][N][N],a[N][N];
int main()
{
    n=read(),m=read();
    go(i,1,n)go(j,1,n)a[i][j]=inf;
    go(i,1,m)
    {
	Ri u=read(),v=read();
	f[0][u][v]=1;a[u][v]=1;
    }
    go(k,1,64)
	go(p,1,n)
	go(i,1,n)
	go(j,1,n)
        {
	    f[k][i][j]|=f[k-1][i][p]&f[k-1][p][j];
	    if(f[k][i][j])a[i][j]=1;
	}
    go(i,1,n)a[i][i]=0;
    go(p,1,n)
	go(i,1,n)
	go(j,1,n)
	a[i][j]=min(a[i][j],a[i][p]+a[p][j]);
    printf("%lld\n",a[1][n]);
    return 0;
}