矩阵乘法

 

以下摘自《信息学奥赛一本通提高篇》

矩阵乘法

设A,B是两个矩阵，令C=A*B;

1.A的列数必须与B的行数相等

2.设A是n*r的矩阵，B是r*m的矩阵，那么A与B的乘积C是一个n*m的矩阵

3.C[i][j]=A[i][k]*B[k][j] (k=1~r)

 

方阵乘幂

我们用快速幂的思想来求方阵乘幂。

 

矩阵乘法的应用

1.很容易将有用的状态储存于一个矩阵中

2.通过状态矩阵与状态转移矩阵相乘可快速得到一次DP的值(注意这个DP的状态转移方程必须要是一次的递推式)

3.求矩阵相乘的结果是要做很多次的乘法，这样的效率非常低，但由于矩阵乘法满足结合律，可以先算后面的转移矩阵，即用快速幂，迅速处理好后面的转移矩阵，再用初始矩阵乘上后面的转移矩阵得到结果，时间复杂度为log(n)级别的

 

做题！

洛谷1962 斐波那契数列（Fibonacci第n项）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 #define R register
 7 #define go(i,a,b) for(R int i=a;i<=b;i++)
 8 #define yes(i,a,b) for(R int i=a;i>=b;i--)
 9 #define ll long long
10 #define db double
11 using namespace std;
12 ll n,m;int mod;
13 struct node{ll mt[3][3];};
14 node calc(node x,node y,int a,int b,int c)
15 {
16     node z;memset(z.mt,0,sizeof(z.mt));
17     go(i,1,a)
18         go(j,1,b)
19         go(k,1,c)
20         z.mt[i][j]=(z.mt[i][j]+x.mt[i][k]*y.mt[k][j])%mod;
21     return z;
22 }
23 node a,b,c;
24 void sol()
25 {
26     while(m)
27     {
28         if(m&1) b=calc(b,a,2,2,2);
29         m>>=1;a=calc(a,a,2,2,2);
30     }
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%lld",&n);m=n-2;mod=1000000007;
35     if(n<=2){printf("1");return 0;}
36     a.mt[1][1]=1,a.mt[1][2]=1,a.mt[2][1]=1,a.mt[2][2]=0;
37     b.mt[1][1]=1,b.mt[1][2]=0,b.mt[2][1]=0,b.mt[2][2]=1;
38     c.mt[1][1]=1;c.mt[2][1]=1;
39     sol();
40     c=calc(b,c,2,1,2);
41     printf("%lld",c.mt[1][1]);
42     return 0;
43 }
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Fibonacci前n项之和

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 #define R register
 7 #define go(i,a,b) for(R int i=a;i<=b;i++)
 8 #define yes(i,a,b) for(R int i=a;i>=b;i--)
 9 #define ll long long
10 #define db double
11 using namespace std;
12 ll n,m;int mod;
13 struct node{ll mt[4][4];};
14 node calc(node x,node y,int a,int b,int c)
15 {
16     node z;memset(z.mt,0,sizeof(z.mt));
17     go(i,1,a)
18         go(j,1,b)
19         go(k,1,c)
20         z.mt[i][j]=(z.mt[i][j]+x.mt[i][k]*y.mt[k][j])%mod;
21     return z;
22 }
23 node a,b,c;
24 void sol()
25 {
26     while(m)
27     {
28         if(m&1) b=calc(b,a,3,3,3);
29         m>>=1;a=calc(a,a,3,3,3);
30     }
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%lld%d",&n,&mod);m=n-2;
35     if(n==1){printf("1");return 0;}
36     if(n==2){printf("2");return 0;}
37     a.mt[1][1]=1,a.mt[1][2]=1,a.mt[1][3]=1;
38     a.mt[2][1]=0,a.mt[2][2]=1,a.mt[2][3]=1;
39     a.mt[3][1]=0,a.mt[3][2]=1,a.mt[3][3]=0;
40     b.mt[1][1]=1,b.mt[1][2]=0,b.mt[1][3]=0;
41     b.mt[2][1]=0,b.mt[2][2]=1,b.mt[2][3]=0;
42     a.mt[3][1]=0,b.mt[3][2]=0,b.mt[3][3]=1;
43     c.mt[1][1]=2,c.mt[2][1]=1,c.mt[3][1]=1;
44     sol();
45     c=calc(b,c,3,1,3);
46     printf("%lld",c.mt[1][1]);
47     return 0;
48 }
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Poj3233 Matrix Power Series 

posted @ 2019-02-16 08:03  DTTTTTTT  阅读(493)  评论(0)  编辑  收藏  举报