2025-01-20 23:24阅读: 68评论: 0推荐: 0

高等代数笔记:线性相关与线性无关向量组

基本概念

什么是线性相关、线性无关?

定义1 \(K^n\)中,向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)线性相关的,即\(K\)中有不全为0的数\(k_1,k_2,...,k_s\)使得\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}\)成立

定义2 \(K^n\)中,向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)不是线性相关的,那么称为线性无关的,即可从\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}\)推断出所有系数\(k_1,k_2,...,k_s=0\)

常用性质

1. 几何空间中,共面的3个向量线性相关,不共面的3个向量线性无关.

要证明该结论,需要引理:

引理(向量共面充要条件) \(向量\bm{a,b,c}\)共面的充要条件,是有不全为0的实数\(k_1,k_2,k_3\)使得

\[k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0 \]

引理证明:
必要性. 设\(\bm{a,b,c}\)共面,
1)\(\bm{a}\nparallel\bm{b}\)
∴存在实数\(λ,μ\)使得\(\bm{c}=λ\bm{a}+μ\bm{b}\)
\(\bm{c}\parallel \bm{a,b}\)为边的平行四边形的对角线)
\(λ\bm{a}+μ\bm{b}-\bm{c}=0\)

2)\(\bm{a}\parallel\bm{b}\)
∴存在不全为0的实数\(λ,μ\)使得\(λ\bm{a}+μ\bm{b}=0\)
\(λ\bm{a}+μ\bm{b}+0\bm{c}=0\)

充分性. 设\(k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0\)
不妨设\(k_1\neq 0\)
\(\bm{a}=-\frac{k_2}{k_1}\bm{b}-\frac{k_3}{k_1}\bm{c}\)
\(\bm{a,b,c}\)共面

下证原命题.
证:任取3向量\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)

\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)共面时,
由共面充要条件,\(\bm{α_3}=λ\bm{α_1}+μ\bm{α_2},λ,μ\in R\)

\(λ\bm{α_1}+μ\bm{α_2}-\bm{α_3}=0\)

\(-1\neq 0\)
∴由定义1,\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)线性相关.

\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)不共面时,由引理,

\[k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0\implies k_1=k_2=k_3=0 \]

由定义2,\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)线性无关.

2. 含零向量的向量组一定线性相关

\(k_1\bm{0}+0\bm{α_2}+...+0\bm{α_n}=0,k_1\neq 0\)
\(k_1,k_2,...,k_n\)不全为0

3. 单个向量\(\bm{α}\)线性相关当前仅当\(\bm{α}=0\)
\(k\bm{α}=0\),系数不能全为0
\(k\neq 0\)
\(\bm{α}=0\)

4. 向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 2)\)线性相关\(\Longleftrightarrow\)其中至少有一个向量能由其他向量线性表出

证明:
充分性.

线性相关\(\implies\) 存在s个不全为0的实数使得\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0\)

不妨设\(k_i\neq 0\)
\(\bm{α_i}=-\frac{k_1}{k_i}\bm{α_1}-\frac{k_2}{k_i}\bm{α_2}-...-\frac{k_{i-1}}{k_i}\bm{α_{i-1}}+\frac{k_{i+1}}{k_i}\bm{α_{i+1}}-...-\frac{k_{s}}{k_i}\bm{α_s}\)

必要性.

\(\bm{α_i}=λ_1\bm{α_1}+λ_2\bm{α_2}+...+λ_{i-1}\bm{α_{i-1}}+λ_{i+1}\bm{α_{i+1}}+...+λ_s\bm{α_s}\)
\(λ_1\bm{α_1}+λ_2\bm{α_2}+...+λ_{i-1}\bm{α_{i-1}}+(-1)\bm{α_i}+λ_{i+1}\bm{α_{i+1}}+...+λ_s\bm{α_s}=0\)
\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性相关

5. 齐次线性方程组:
对于列向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)

线性相关
\(\Longleftrightarrow\)方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_s\bm{α_s}=0\)有非零解;

线性无关
\(\Longleftrightarrow\)方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_s\bm{α_s}=0\)只有零解.

6. 行列式:
n个n维列(行)向量\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)

线性相关
\(\Longleftrightarrow\)\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)为列(行)向量组的矩阵的行列式值为0;

线性无关
\(\Longleftrightarrow\)\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)为列(行)向量组的矩阵的行列式值不为0.

说明:
由克莱姆法则(见高等代数笔记:克莱姆法则(Cramer's Rule)),线性方程组对应系数行列式值不为0,则方程组有唯一解.

而对于齐次线性方程组(常数项为0),0显然是其解

i.e. 由\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0 \implies k_1,k_2,...,k_s\)是唯一解(对应齐次线性方程组的0解)

7. 向量组线性表出:
向量\(\bm{β}\)可由向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性表出方式唯一
\(\Longleftrightarrow\) \(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性无关.

\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性相关
\(\Longleftrightarrow\)表出方式有无穷多种

8. 向量组的部分组:
如果向量组的一个部分组线性相关,那么整个向量组线性相关;
如果向量组线性无关,那么任何一个部分组线性无关.

9. 延伸或缩短:
1)如果向量组线性无关,那么每个向量添加m个分量得到的延伸组也线性无关;

2)如果向量组线性相关,那么每个向量去掉m个分量得到的缩短组组也线性相关. (逆否命题)

证1):设\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)的一个延伸组\(\bm{\widetilde{α_1},\widetilde{α_2},...,\widetilde{α_s}}\)

\(\exist k_1,k_2,...,k_s\in R\),满足\(k_1\bm{\widetilde{α_1}}+k_2\bm{\widetilde{α_2}}+...+k_s\bm{\widetilde{α_s}}=0\)
\(\bm{\widetilde{α_1}}=\begin{pmatrix}\bm{α_1}\\...\end{pmatrix}, \bm{\widetilde{α_2}}=\begin{pmatrix}\bm{α_2}\\...\end{pmatrix}, ..., \bm{\widetilde{α_s}}=\begin{pmatrix}\bm{α_s}\\...\end{pmatrix}\)
\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0\)

\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性无关
\(k_1=k_2=...=k_s=0\)
\(\bm{\widetilde{α_1},\widetilde{α_2},...,\widetilde{α_s}}\)线性无关.

线性表出与线性相关、线性无关

命题1 设向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关,则\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出的充要条件:\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关.

证明:
必要性.
\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出,则存在\(c_1,...,c_s\in K\)使得
\(\bm{β}=c_1\bm{α_1}+...+c_s\bm{α_s}\)
\(c_1\bm{α_1}+...+c_s\bm{α_s}+(-1)\bm{β}=0\)
\(-1\neq 0\)
\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关

充分性.
\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关,则存在不全为0的一组数\(k_1,...,k_s,l\in K\)使得

\[k_1\bm{α_1}+...+k_s\bm{α_s}+l\bm{β}=0 \]

假设\(l=0\),那么\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性相关,与题设矛盾
∴假设不成立,即\(l\neq 0\)
\(\bm{β}=\frac{k_1}{l}\bm{α_1}+...+\frac{k_s}{l}\bm{α_s}\)
\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出

推论1 设向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关,则向量\(\bm{β}\)不能由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出的充要条件:\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性无关.

命题1的逆否命题.

应用

1.\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关,且

\[\bm{β_1}=a_{11}\bm{α_1}+...+a_{1s}\bm{α_s},\\ ...\\ \bm{β_s}=a_{s1}\bm{α_1}+...+a_{ss}\bm{α_s}. \]

要证:\(\bm{β_1,...,β_s}\)线性无关的充要条件是

\[\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{s1}\\ ...&...&...\\ a_{1s}&...&a_{ss} \end{vmatrix}\neq 0. \]

证明:
\(\bm{β_1,...,β_s}\)线性无关 \(\Longleftrightarrow\) 能从\(k_1\bm{β_1}+...+k_s\bm{β_s}=0, k_1,...,k_s\in K\)推导出\(k_1=...=k_s=0\)

由题设条件,知

\[\begin{aligned} k_1(a_{11}\bm{α_1}+...+a_{1s}\bm{α_s})+...+k_s(a_{s1}\bm{α_1}+...+a_{ss}\bm{α_s})&=0\\ \Longleftrightarrow (k_1a_{11}+...+k_sa_{s1})\bm{α_1} +... +(k_1a_{1s}+...+k_sa_{ss})\bm{α_s}&=0 \end{aligned} \]

\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关

\[\begin{cases} k_1a_{11}+...+k_sa_{s1}=0,\\ ...\\ k_1a_{1s}+...+k_sa_{ss}=0 \end{cases} \tag{1} \]

\(\bm{β_1,...,β_s}\)线性无关
\(\Longleftrightarrow k_1=...=k_s=0\)
\(\Longleftrightarrow\) 上面齐次线性方程组只有0解
\(\Longleftrightarrow\) 系数行列式\(|A|\neq 0\).

\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{s1}\\ ...&...&...\\ a_{1s}&...&a_{ss} \end{vmatrix}\ \]

2. 证明:\(K^n\)中,任意n+1个向量都线性相关.

证明:任取n+1个向量\(\bm{α_1,...,α_{n+1}}\in K^n\)

下面研究齐次线性方程组\(x_1\bm{α_1}+...+x_{n+1}\bm{α_{n+1}}=0\)的解.

\(α_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})',i=1,2,...,n\)

\[x_1(a_{11},a_{12},...,a_{1n})'+x_2(a_{21},a_{22},...,a_{2n})'+...+x_{n+1}(a_{n+1,1},a_{n+1,2},...,a_{n+1,n})'=0\\ \implies \begin{cases} x_1a_{11}+x_2a_{21}+...+x_{n+1}a_{n+1,1}=0\\ x_1a_{12}+x_2a_{22}+...+x_{n+1}a_{n+1,2}=0\\ ...\\ x_1a_{1n}+x_2a_{2n}+...+x_{n+1}a_{n+1,n}=0\\ \end{cases} \]

∴方程组的方程数量n < 未知数数量n+1

由克莱姆法则推导过程知(见高等代数笔记:克莱姆法则(Cramer's Rule)),方程组必定有无穷解

∴除0解外,必定有非0解
∴至少存在一组非0解,使得\(x_1\bm{α_1}+...+x_{n+1}\bm{α_{n+1}}=0\)成立
\(\bm{α_1,...,α_{n+1}}\)线性相关

3. 证明:如果向量\(\bm{β}\)可由向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出,则表出方式唯一的充要条件:\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关.

证明:
\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出\(\Longleftrightarrow\) \(\bm{β}=b_1α_1+...+b_sα_s\)

充分性. 设\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关
反证法,假设表出方式不唯一,则还存在另一组数\(c_1,...,c_s\)满足\(\bm{β}=c_1α_1+...+c_sα_s\)

\(b_1α_1+...+b_sα_s=c_1α_1+...+c_sα_s\)

\((b_1-c_1)α_1+...+(b_s-c_s)α_s=0\)
这与\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关矛盾,故假设不成立,即表出方式唯一.

必要性. 设\(\bm{β}\)\(\bm{α_1,...,α_s}\)表出方式唯一
反证法,\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性相关,则存在一组不全为0的数\(k_1,...,k_s\)使得

\[k_1\bm{α_1}+...+k_s\bm{α_s}=0 \]

\[\bm{β}=(b_1+k_1)\bm{α_1}+...+(b_s+k_s)\bm{α_s} \]

\(k_1,...,k_s\)不全为0
\((b_1,...,b_s)\neq (b_1+k_1,...,b_s+k_s)\)
\(\bm{β}\)\(\bm{α_1,...,α_s}\)表出方式不唯一,这与表出方式唯一矛盾,故假设不成立

故得证.

参考

[1] 丘维声. 解析几何(第2版)[M]. 北京大学出版社, 1996.

本文作者:明明1109

本文链接:https://www.cnblogs.com/fortunely/p/18667481

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