高等代数笔记：n维向量空间Kn

目录

• why?
• what?
  • 8条运算法则
  • 定义
    • n维向量空间
    • 线性子空间
• 应用

why?

为什么引入n维向量空间\(K^n\)？

行列式能判断数域K上的n元线性方程组有没有唯一解，并求出，但无法判定无解、无穷解. 于是，提出2种想法解决：

1）对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，包括：将一行的倍数加到另一行，一行的每个元素×常数.

涉及运算：
（1）一行的每个元素乘以一个数，即有序数组的数乘；
（2）一行的每个元素与另一行的每个元素相加，即有序数组的加法；

于是，可用数域K上的所有n元有序数组组成的集合（\(K^n\)），及定义在这之上的加法、数乘运算来描述. 再加上其满足的加法交换律、结合律等运算法则，称为数域K上的n维向量空间，\(K^n\)的元素称为n维向量.

2）方程\(2x+y=0\)的解集是平面内过原点的一条直线\(l\). \(l\)上的每个向量都能表示成\(k\bm{a}\)（\(k\in R, \bm{a}\)是\(l\)上取的一个非零向量）

i.e. 该方程的无穷解可以通过一个解\(\bm{a}\)表示. 于是，研究线性方程组有无穷解时解集的结构，可以研究n维向量空间\(K^n\)中，向量之间的关系.

what?

• 集合\(K^n\)

取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数. 令

\[K^n=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i\in K, i=1,2,...,n\} \]

如果\(a_1=b_1,a_2=b_2,...,a_n=b_n\)，则称\(K^n\)中2个元素\((a_1,a_2,...,a_n),(b_1,b_2,...,b_n)\)相等.

• 加法运算

\[(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n)\xlongequal{def}(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n) \]

• 数乘运算

\(K\)的元素与\(K^n\)的元素之间数量乘积运算：

\[k(a_1,a_2,...,a_n)\xlongequal{def}(ka_1,ka_2,...,ka_n) \]

8条运算法则

对于\(\bm{α,β,γ}\in K^n,k,l\in K\)，有

（1）交换律：\(\bm{α+β}=\bm{β+α}\)；

（2）分配律：\(\bm{(α+β)+γ}=\bm{a+(β+γ)}\)；

（3）记\(\bm{0}\)元素\((0,0,...,0)\)，有

\[\bm{0+α}=\bm{α+0}=\bm{α} \]

称\(\bm{0}\)是\(K^n\)的元素.

（4）\(\bm{α}=(a_1,a_2,...,a_n)\in K^n\)，令\(-\bm{α}\xlongequal{def}(-a_1,-a_2,...,-a_n)\in K^n\)
则\(\bm{α}+(\bm{-α})=\bm{0}\)
则称\(-\bm{α}\)是\(\bm{α}\)的负元素.

（5）数乘1：\(1\bm{α}=\bm{α}\)

（6）数乘结合律：\((kl)\bm{α}=k(l\bm{α})\)

（7）\((k+l)\bm{α}=k\bm{α}+l\bm{α}\)

（8）\(k(\bm{α}+\bm{β})=k\bm{α}+k\bm{β}\)

定义

n维向量空间

\(\bm{定义1}\)：数域K上所有n元有序数组组成的集合\(K^n\)，连同定义在它上面的加法运算、数乘运算，及其满足点8条运算规则一起，
称为数域K上的一个n维向量空间. \(K^n\)的元素称为n维向量；设\(\bm{α}=(a_1,a_2,...,a_n)\)，则\(a_i\)是\(\bm{α}\)的第i个分量.

减法：

\[\bm{α}-\bm{β}\xlongequal{def}\bm{α}+(-\bm{β}) \]

\(\forall \bm{α}\in K^n\),有4条性质：

\[0\bm{α}=\bm{0};\\ (-1)\bm{α}=-\bm{α};\\ k\bm{0}=\bm{0},\forall k\in K;\\ k\bm{α}=\bm{0} \implies k=0 \space or \space \bm{α}=\bm{0}. \]

行向量：n元有序数组，写成一行\((a_1,a_2,...,a_n)\)；
列向量：n元有序数组，写成一列

\[\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\...\\a_n \end{pmatrix}=(a_1,a_2,...,a_n)'=(a_1,a_2,...,a_n)^T \]

向量组的线性组合：给定向量组\(A=\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)，给定K中任意一组数\(k_1,k_2,...,k_s\)，可得向量\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}\)，
该向量称为向量组A的一个线性组合，\(k_1,k_2,...,k_s\)称为系数.

对于向量\(\bm{β}\in K^n\)，如果K中存在一组数，即\(\exist c_1,c_2,...,c_s\)，使得

\[\bm{β}=c_1α_1+c_2α_2+...+c_sα_s \]

那么，\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性表出（有的书籍称为线性表示）.

于是，线性方程组有没有解，可用向量\(\bm{β}\)是否能由系数矩阵的列向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_n}\)线性表出进行描述.

证明：
数域K上n元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ...\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n=b_s \end{cases} \]

写成\(x_i\)与列向量乘积求和的形式：

\[\begin{aligned} x_1\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{s1}\end{pmatrix}+ x_2\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{s2}\end{pmatrix}+ ...+ x_n\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\...\\a_{sn}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_s\end{pmatrix}\\ \implies x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_n\bm{α_n}&=\bm{β} \end{aligned} \]

其中，\(\bm{α_1,α_2,...,α_n}\)是线性方程组的系数矩阵的列向量组，\(\bm{β}\)是常数项的列向量.

线性方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_n\bm{α_n}=\bm{β}\)有解

\(\Leftrightarrow\) K中存在一组实数\(c_1,c_2,...,c_n\)，使得下式成立：

\[c_1\bm{α_1}+c_2\bm{α_2}+...+c_n\bm{α_n}=\bm{β} \]

\(\Leftrightarrow \bm{β}\)可由\(\bm{α_1,α_2,...,α_n}\)线性表出.

线性子空间

如何知道\(\bm{β}\)能否由\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性表出？
不妨先研究所有线性表出集合\(W\)的结构特点，再判断\(\bm{β}\in W\).

\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)的所有线性组合组成一个集合：

\[W\xlongequal{def}\{k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}|k_i\in K, i=1,2,...,s\} \]

\(W\)特点：
任取\(\bm{α, γ}\in W\)，设

\[\bm{α}=a_1\bm{α_1}+a_2\bm{α_2}+...+a_s\bm{a_s}, \bm{γ}=b_1\bm{α_1}+b_2\bm{α_2}+...+b_s\bm{α_s}, \]

则有，
1）加法

\[\bm{α+γ}=(a_1+b_1)\bm{α_1}+(a_2+b_2)\bm{α_2}+...+(a_s+b_s)\bm{α_s} \]

2）数乘

\[k\bm{α}=(ka_1)\bm{α_1}+(ka_2)\bm{α_2}+...+(ka_s)\bm{a_s}, \forall k\in K \]

由此，引出线性子空间的定义.

定义2：\(K^n\)的一个非空子集U，如果满足：
(1)\(\bm{α, γ}\in U \implies \bm{α+γ}\in U\),
(2)\(\bm{α}\in U, k\in K \implies k\bm{α}\in U\),
则称U是\(K^n\)的一个线性子空间，简称子空间.

性质(1)称为\(U\)对\(K^n\)的加法封闭，(2)称为U对\(K^n\)的数量乘法封闭.

零子空间\(\{0\}\)是\(K^n\)的一个子空间；\(K^n\)本身是\(K^n\)的一个子空间.

由定义知，\(U\)是\(K^n\)的一个子空间，称为\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)生成的子空间，记作：
\(W=<\bm{α_1,α_2,...,α_s}>\)

于是，可以将前面线性方程组有解的判断方式转化为：

命题1：数域K上n元线性方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_n\bm{α_n}=\bm{β}\)有解
\(\Leftrightarrow \bm{β}\)可由\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性表出
\(\Leftrightarrow \bm{β}\in <\bm{α_1,α_2,...,α_s}>\)

应用

1）\(K^n\)中，令\(\bm{e_1}=(1,0,...,0)',\bm{e_2}=(0,1,...,0)',...,\bm{e_n}=(0,0,...,1)'\).
要求证明：\(K^n\)中任一向量\(\bm{α} = (a_1,a_2,...,a_n)'\)