法向量变换
法向量变换推导
计算机图形：三维观察之投影变换描述了对物体进行投影变换，而实际应用中，同时需要对法向量进行变换.
但法向量变换不同于图形的几何变换，而切线的变换同图形的几何变换.
设某一点法向量\(n\)，切向量\(t\). 该点经投影变换M后得到\(n', t'\). 有
\[t'=Mt
\]
∵\(n⊥t\)
∴写成矩阵形式：
\[\tag{1}
\begin{aligned}
n^Tt&=0\\
\implies n^TIt&=n^TM^{-1}Mt=(n^TM^{-1})(Mt)=0
\end{aligned}
\]
设法向量变换矩阵S
\[n'=Sn
\]
\[\tag{2}
\begin{aligned}
&∵n'⊥t',t'=Mt\\
&∴(n')^Tt'=0\\
&∴(Sn)^T(Mt)=n^TS^T(Mt)=0
\end{aligned}
\]
要使得(2)恒成立，可以取\(S^T=M^{-1}\)，即\(S=(M^{-1})^T\)
显然，\(S=(M^{-1})^T\)并不是方程(2)的唯一解，例如，\(S=λ(M^{-1})^T,λ\in R\)也是解.
但在图形学中，我们通常只关心法向量的方向，而不关心其大小.
参考
[1] Shirley P .Fundamentals of Computer Graphics[M]. 2015.
图形学基础 - 变换 - 矩阵变换基础
