计算机图形：法向量变换
法向量变换推导
计算机图形：mvp变换（模型、视图、投影变换）描述了对物体的几何图形进行模型、视图、投影变换. 实际应用中，同时需对法向量变换. 切线的变换与图形的几何变换相同，但法向量变换却不同.
法向量变换原则：变换前后，始终与物体表面（切线）垂直.
设物体表面某一点法向量\(\bm{n}\)，切向量\(\bm{t}\). 该点经变换M后得到\(\bm{n'}, \bm{t'}\). 有
\[t'=Mt
\]
∵\(\bm{n}⊥\bm{t}\)
∴写成矩阵形式：
\[\tag{1}
\begin{aligned}
n^Tt&=0\\
\implies n^TIt&=n^TM^{-1}Mt=(n^TM^{-1})(Mt)=0
\end{aligned}
\]
设法向量变换矩阵S，则\(n'=Sn\).
\[\tag{2}
\begin{aligned}
&∵\bm{n'}⊥\bm{t'},t'=Mt\\
&∴(n')^Tt'=0\\
&∴(n')^Tt'=(Sn)^T(Mt)=n^TS^T(Mt)=0
\end{aligned}
\]
要使(2)恒成立，可取\(S^T=M^{-1}\)，即\(S=(M^{-1})^T\)
当然，\(S=(M^{-1})^T\)并不是(2)的唯一解，e.g. \(S=λ(M^{-1})^T,λ\in R\)也是解.
但在图形学中，通常只关心法向量的方向，而不关心其大小.
∴法向量变换：
\[\tag{3}
\begin{aligned}
\bm{n'} &= S\bm{n}\\
&= (M_{mv}^{-1})^T\bm{n}
\end{aligned}
\]
法向量变换的应用
何时进行法向量变换
下图是物体由原始坐标变换到屏幕空间过程示意：
由于法向量主要应用于光照计算，而投影变换会改变法向量大小、方向，所以我们需要在视图空间（/相机空间）中完成光照计算. i.e. 模型变换、相机变换时，需要对法向量进行变换，而投影变换、视口变换则不需要.
Phong明暗处理与法向量变换
Phong明暗处理（见计算机图形：明暗处理）中，我们用双线性插值求法向量，即用三角形顶点的法向量，对三角形内部的点（投影变换、规范化、视口变换后与扫描线相交）的法向量进行线性插值，并没有在屏幕空间利用顶点求法向量，因此不会改变视图空间中得到的法向量方向.
参考
[1] Shirley P .Fundamentals of Computer Graphics[M]. 2015.
[2] OpenGL Normal Vector Transformation
[4] 法向量变换
