计算机图形：三维观察之投影变换

目录

• 投影变换
• 正投影
  • 轴测、等轴测正投影
  • 正投影坐标系
  • 裁剪窗口、正投影观察体
  • 正投影的规范化变换
• 斜投影
  • 斜平行投影
  • 斜等测、斜二测平行投影
  • 斜平行投影变换
• 透视投影
  • 投影参考点与观察原点
  • 坐标变换
  • 特殊透视投影
  • 灭点
    • 灭点与投影参考点
  • 透视投影观察体
  • 透视投影变换矩阵
  • 对称透视投影椎体
  • 斜透视投影棱台
  • 透视投影的规范化变换

投影变换

将对象描述从世界坐标系变换到观察坐标系后，要将其投影到观察平面，即投影变换。有2种投影方式：

1. 平行投影（parallel projection），坐标位置沿平行线变换到观察平面。保持对象的比例不变，常用于辅助绘图、设计生成工程图。获取对象平行视图的方法有2种：1）沿垂直于观察平面的直线投影；2）沿某倾斜角度投影到观察平面。

2. 透视投影（perspective projection），对象位置沿会聚到观察平面后的一点（即投影参考点/投影中心）的直线，变换到投影坐标系。透视投影不会保持对象比例，但真实感更好。

注意：概念上，投影变换指将对象变换到观察平面；实际应用中，投影变换除了指将对象变换到观察平面，还包括规范化变换。

线段\(P_1P_2\)的平行投影、透视投影示意图：

正投影

对象沿与投影平面法向量N平行的方向，到投影平面上的变换N称为正投影（orthogonal projection）或正交投影（orthographic projection）。

正投影：特殊的平行投影，投影线//投影平面法向量N。常用于生成对象的前视图、侧视图、顶视图，可用于建筑和工程绘图。

轴测、等轴测正投影

轴测正投影：

生成显示对象多个侧面的正投影，这些视图称为轴测（axonometric）正投影。

等轴测投影：

等轴测（isometric）投影是特殊轴测投影，其投影平面与每个坐标轴的交点到原点距离相等。

常见等轴测投影：多个投影平面形成一个立方体，立方体8个顶点分布在观察坐标系的8分象限。

正投影坐标系

观察坐标系\(x_{view}y_{view}z_{view}\)下，如果投影方向//\(z_{view}\)轴，则任意点\((x,y,z)\)的投影坐标\((x_p,y_p,z_p)\)：

\[\tag{6} x_p=x, y_p=y, z_p=z_{vp} \]

其中，\(z_{vp}\)为观察平面位置（观察平面⊥\(z_{view}\)轴）。\(z_p\)值被保存，用于可见性检测。

任一点到观察平面的正交投影：

裁剪窗口、正投影观察体

常用矩形裁剪窗口来模拟照相机的镜头，用于确定有多少场景要显示。
OpenGL中，裁剪窗口位于观察平面上，位置、大小由矩形左下角+右上角确定，其边与观察坐标系\(x_{view}, y_{view}\)轴平行，即\(x_{view}y_{view}\)平面的正则矩形。裁剪窗口边界限定了要显示的场景内容的x、y范围。

观察平面上用观察坐标指定裁剪窗口：

∵正投影的投影线⊥观察平面
∴裁剪窗口的4个边界的投影线⊥观察平面
此时，裁剪窗口的4个边界的投影线形成一个无限的裁剪区域，即没有头尾的长方体，如下图：

选择1个或2个边界平面（//观察平面），为该（无限裁剪）区域\(z_{view}\)方向限定边界，该区域称为正交观察体（orthographic view volume），这2个平面称为近-远裁剪平面（near-far clipping plane）或前-后裁剪平面（front-back clipping plane）。正交观察体外的场景对象会被排除，不会显示。观察方向沿\(-z_{view}\)轴，有\(z_{far} < z_{near}\)

由远、近裁剪平面形成的正交投影观察体：

正投影的规范化变换

观察坐标系下，任一点\((x,y,z)\)到观察平面的正交投影位置\((x,y)\)。观察体内的对象，经规范化变换到规范化立方体，直接映射到规范化观察体（normalized view volume/canonical view volume）。

\[观察坐标系(右手系)内一点\xrightarrow{正交投影}正投影观察体(右手系)\xrightarrow{规范化变换}规范化观察体(左手系) \]

规范化观察体有两种：
1）单位立方体：限制x、y、z范围为0~1；
2）对称立方体：限制x、y、z范围为-1~1。

因为屏幕坐标系常用左手系，所以规范化观察体也用左手系。观察方向正距离，代表距离屏幕（观察平面）的距离。

左手屏幕坐标系：

• 规范化变换

设近平面、远平面：\(z=z_{near},z=z_{far}, z_{far}<z_{near}<0\)；规范化变换映射：\((xw_{min},yw_{min},z_{near})\to(-1,-1,-1)\)，\((xw_{max},yw_{max},z_{far})\to(1,1,1)\)。

正交投影的规范化变换示意图：

正交投影规范化变换有两种推导方法：

方法一：分解法，将变换分解为三步：
1）平移：将观察体中心平移到规范化坐标系原点；
2）反射：以z轴为反射轴，将观察体进行反射；
2）缩放：将x、y、z坐标放缩到-1~1范围.

平移矩阵：

\[\begin{aligned} T&=T(-{xw_{min}+xw_{max}\over 2},-{yw_{min}+yw_{max}\over 2},-{z_{near}+z_{far}\over 2})\\ &=\begin{pmatrix} 1&0&0&-{xw_{min}+xw_{max}\over 2}\\ 0&1&0&-{yw_{min}+yw_{max}\over 2}\\ 0&0&1&-{z_{near}+z_{far}\over 2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

∵\(z_{norm}\)轴与\(z_{view}\)轴反向
∴反射矩阵（参见计算机图形：特殊几何变换）：

\[Reflect_z=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \]

放缩矩阵：

\[\begin{aligned} S&=S({2\over xw_{max}-xw_{min}},{2\over yw_{max}-yw_{min}},{2\over z_{near}-z_{far}})\\ &=\begin{pmatrix} {2\over xw_{max}-xw_{min}}&0&0&0\\ 0&{2\over yw_{max}-yw_{min}}&0&0\\ 0&0&{2\over z_{near}-z_{far}}&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

复合变换矩阵：

\[\tag{7} \begin{aligned} M_{ortho,norm}&=S\cdot Reflect_z\cdot T\\ &=\begin{bmatrix} {2\over xw_{max}-xw_{min}} & 0 & 0 & -{xw_{min}+xw_{max}\over xw_{max}-xw_{min}}\\ 0 & {2\over yw_{max}-yw_{min}} & 0 & -{yw_{min}+yw_{max}\over yw_{max}-yw_{min}}\\ 0 & 0 & {-2\over z_{near}-z_{far}} & {z_{near}+z_{far}\over z_{near}-z_{far}}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

方法二：坐标变换法

以z轴为例：

变换遵循原则：z坐标在变换前后，到起点的距离与z轴跨度的比例保持不变。即：

\[\begin{aligned} &\frac{z-z_{near}}{z_{far}-z_{near}}=\frac{z_c-(-1)}{1-(-1)}\\ \implies &z_c=\frac{-2}{z_{far}-z_{near}}z+\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}}\\ \end{aligned} \]

其中，近、远平面为：\(z=z_{near},z=z_{far},z_{far}<z_{near}<0\)

同理，

\[\begin{aligned} &\frac{x-xw_{min}}{xw_{max}-xw_{min}}=\frac{x_c-(-1)}{1-(-1)}\\ &\frac{y-yw_{min}}{yw_{max}-yw_{min}}=\frac{y_c-(-1)}{1-(-1)}\\ \implies &x_c=\frac{2}{xw_{max}-xw_{min}}x-\frac{xw_{min}+xw_{max}}{xw_{max}-xw_{min}}\\ &y_c=\frac{2}{yw_{max}-yw_{min}}y-\frac{yw_{min}+yw_{max}}{yw_{max}-yw_{min}} \end{aligned} \]

根据坐标变换，可以构造出正交投影变换矩阵\(M_{ortho,norm}\)（即上面式(7)），以满足：

\[\begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c\\1 \end{pmatrix} =M_{ortho,norm}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} \]

注意：有的文献中，z轴变换会有差异，这是因为近、远平面设置不同. 例如，令近、远平面\(z=-z_{near},z=-z_{far},z_{far}>z_{near}>0\)
此时，

\[\begin{aligned} &\frac{z-(-z_{near})}{(-z_{far})-(-z_{near})}=\frac{z_c-(-1)}{1-(-1)}\\ \implies &z_c=\frac{2}{z_{far}-z_{near}}z+\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}}\\ \implies &M_{ortho,norm}(3;3)=\frac{2}{z_{far}-z_{near}},\\&M_{ortho,norm}(3;4)=\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}} \end{aligned} \]

斜投影

当平行投影的投影线与观察平面不平行时，该映射称为斜投影（oblique parallel projection）。

平行投影={正交投影, 斜投影}

斜平行投影

如下图，场景中一点\(P(x,y,z)\)在观察平面（\(z=z_{vp}\)）正投影点\(P_1(x,y,z_{vp})\)，斜投影点\(P_2(x_p,y_p,z_{vp})\)，\(|P_1P_2|=L\)。
斜平行投影用2个角度描述：
1）α，斜平行投影线与\(P_1P_2\)的夹角；
2）φ，\(P_1P_2\)与\(x_{view}\)轴的夹角；
其中，α∈[0,π/2)，φ∈[0,2π)

斜投影坐标：

\[\tag{8} x_p=x+L\cos φ\\ y_p=y+L\sin φ \]

\(\vartriangle PP_1P_2\)中，求L：

\[\tag{9} \tan α={z_{vp}-z\over L}\\ \therefore L={z_{vp}-z\over \tan α}=(z_{vp}-z)\cot α \]

当\(z_{vp}-z=1\)时，\(L=\cot α\)
有，

\[x_p=x+\cot α\cos φ\\ y_p=y+\cot α\sin φ \]

α=π/2时，可得正投影。

• 斜平行投影向量

斜投影线的方向，称为斜平行向量（parallel-projection vector），用\(V_p\)表示。观察坐标系下，\(V_p=(V_{px},V_{py},V_{pz}), \tan φ={V_{py}\over V_{px}}\)，
∵\(V_p//\overrightarrow{P_1P_2}\)
∴\(V_p,\overrightarrow{P_1P_2}\)在\(x_{view},y_{view},z_{view}\)轴分量比例相同（证明见下文），即

\[\frac{(\overrightarrow{P_1P_2})_x}{(\overrightarrow{P_1P_2})_z}={x_p-x\over z_{vp}-z}={V_{px}\over V_{pz}}\\ \frac{(\overrightarrow{P_1P_2})_y}{(\overrightarrow{P_1P_2})_z}={y_p-y\over z_{vp}-z}={V_{py}\over V_{pz}} \]

于是，斜平行投影可用正交投影向量表示成：

\[\tag{10} \begin{aligned} x_p=x+(z_{vp}-z){V_{px}\over V_{pz}}\\ y_p=y+(z_{vp}-z){V_{py}\over V_{pz}} \end{aligned} \]

推论：三维空间下，平行向量\(\vec V_1(x_1,y_1,z_1),\vec V_2(x_2,y_2,z_2)\)的xyz坐标分量比例相同，即

\[{x_1\over y_1}={x_2\over y_2},{x_1\over z_1}={x_2\over z_2}, {y_1\over z_1}={y_2\over z_2} \]

证明：
假设\(\vec V_1=(x_1,y_1,z_1)//\vec V_2=(x_2,y_2,z_2)\)，那么，
存在λ∈R且λ≠0，使得

\[\vec V_1=λ\vec V_2\\ \implies (x_1,y_1,z_1)=λ(x_2,y_2,z_2)\\ \implies {x_1\over x_2}={y_1\over y_2}={z_1\over z_2}=λ\\ \implies {x_1\over y_1}={x_2\over y_2},{x_1\over z_1}={x_2\over z_2}, {y_1\over z_1}={y_2\over z_2} \]

即得证。

斜等测、斜二测平行投影

φ常用π/3（60°）、π/4（45°），显示对象前、侧、顶视图的组合（或前、侧、底）。

α常用值：
1）α=45°（tan α=1），获得视图称为斜等测（cavalier）投影图，垂直于投影平面的线条投影后长度不变。

2）α≈63.4°（tan α=2），获得视图称为斜二测（cabinet）投影图，垂直于投影平面的线条投影后长度为原来一半。真实感较1）更好。

斜平行投影变换

由式(10)，可得斜平行投影变换矩阵：

\[\begin{aligned} P_2&=M_{oblique}\cdot P\\ \begin{bmatrix} x_p\\ y_p\\ z_{vp}\\ 0 \end{bmatrix} &= M_{oblique} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\\ \implies \tag{11} M_{oblique}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -{V_{px}\over V_{pz}} & z_{vp}{V_{px}\over z_{pz}}\\ 0 & 1 & -{V_{py}\over V_{pz}} & z_{vp}{V_{py}\over V_{pz}}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

透视投影

将对象沿会聚到投影参考点（projection reference point）或投影中心（center of projection）的路径投影到观察平面来逼近几何光学效果，称为透视投影。

平行投影：保持对象相对比例；
透视投影：模仿人眼或照相机，具有近大远小的真实感。

透视投影示意图：

投影参考点与观察原点

• 投影参考点是透视投影才有的概念；观察原点是基于观察坐标系的概念，所有投影都有。

• 有的图形软件包将投影参考点设在观察原点，即视点；有的将投影参考点作为另一观察参数来选择。i.e. 投影参考点可视作观察原点，也可不同，取决于具体环境，参见下文“特殊透视投影”部分。

坐标变换

场景中任一点\(P(x,y,z)\)到投影参考点\(P_{0}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)的投影示意图：

投影线与观察平面交点\(P'(x_p,y_p,z_{vp})\)。

投影线上任一点\((x',y',z')\)参数方程（证明见下面推论）：

\[\tag{12} \begin{aligned} x'&=x-(x-x_{prp})u\\ y'&=y-(y-y_{prp})u\\ z'&=z-(z-z_{prp})u \end{aligned} \]

u=0时，代表点P(x,y,z)；
u=1时，代表投影参考点\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)。

写成点形式：

\[P'=(1-u)P+uP_{0},u=\frac{|PP'|}{|PP_0|}\in [0,1] \]

推论：两点\(S_1(x_1,y_1,z_1)、S_2(x_2,y_2,z_2)\)确定直线段L，L上任一点\(S(x,y,z)\)坐标方程：

\[\begin{cases} x&=ux_1+(1-u)x_2\\ y&=uy_1+(1-u)y_2 & u\in [0,1]\\ z&=uz_1+(1-u)z_2 \end{cases} \]

证明：
∵S位于直线L
∴\(S_1S//S_2S\)
∴存在非0实数λ，使得\(x-x_1=λ(x-x_2)\)
∴\(x={1\over 1-λ}x_1-{λ\over 1-λ}x_2\)
令\(u={1\over 1-λ}\)，有\(x=ux_1+(1-u)x_2\)
∵x在线段\(S_1S_2\)上，不妨设\(x_1\le x_2\)
∴\(x_1\le x\le x_2\)
∴\(x_1\le ux_1+(1-u)x_2\le x_2\)
∴\(0\le u\le 1\)

同理可证，y、z坐标也成立。故得证。

证明也可参见：数学基础：三角形重心坐标插值公式的证明

• 如何求投影变换公式？

要求投影变换公式，就需要求出P在观察平面\(z'=z_{vp}\)上的投影点\(P'\)。

如上图，根据三角形相似性，可求出：

\[\tag{13} u={z_{vp}-z\over z_{prp}-z}=\frac{|PP'|}{|PP_0|} \]

于是

\[\tag{14} \begin{aligned} x_p&=(1-u)x+ux_{prp}={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}x+{z_{vp}-z\over z_{prp}-z}x_{prp}\\ y_p&=(1-u)y+uy_{prp}={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}y+{z_{vp}-z\over z_{prp}-z}y_{prp}\\ z_p&=z_{vp} \end{aligned} \]

特殊透视投影

限制投影参考点或观察平面。

1）投影参考点限制在\(z_{view}\)轴，即\(x_{prp}=y_{prp}=0\)

\[\tag{15} x_p={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}x, y_p={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}y \]

2）将投影参考点固定在原点，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\)

\[\tag{16} x_p={z_{vp}\over z}x, y_p={z_{vp}\over z}y \]

3）观察平面是uv平面（uvn坐标系），对投影参考点位置不限制，即\(z_{vp}=0\)

\[\tag{17} \begin{aligned} x_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}x-{z\over z_{prp}-z}x_{prp}\\ y_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}y-{z\over z_{prp}-z}y_{prp} \end{aligned} \]

tips：uvn坐标系下，\(u,v,n\)分别代表\(x_{view},y_{view},z_{view}\)。参见uvn观察坐标系。

4）观察平面是uv平面，投影参考点在\(z_{view}\)轴，即\(z_{vp}=0,x_{prp}=y_{prp}=0\)

\[\tag{18} \begin{aligned} x_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}x\\ y_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}y \end{aligned} \]

注意：投影参考点不能位于观察平面\(z_{prp}\neq z_{vp}\)，否则所有对象投影到观察平面上一点。

灭点

当一个场景使用透视投影到观察平面上时，平行于观察平面的线条投影后仍然平行。但任何与观察平面不平行的平行线组投影后，会成为一组会聚线条。一组投影平行线会聚的点，称为灭点（vanishing point）。每组平行线都有自己的灭点。

主灭点（principal vanishing point）：对象上平行于一个主轴的一组平行线的灭点。坐标轴有3个，所以主灭点最多有3个。

通过投影平面的方向，可以控制主灭点的数量（1，2或3），对应透视投影分为一点、两点或三点投影。

下图是一个立方体的一点、两点透视投影：

灭点与投影参考点

不同点：

• 是否能修改

投影参考点模拟人眼或摄像机，一旦选定，不能随意修改；灭点会随着对象的几何变换而改变位置。

• 针对对象

灭点针对对象的一组平行线，可能有0个或多个；投影参考点针对所有透视投影，只有1个点。i.e. 透视投影一定存在投影参考点，而平行于观察平面的线组不存在灭点。

透视投影观察体

在观察平面上指定一个矩形裁剪窗口，可得到透视投影观察体（perspective projection view volumes），称为视觉棱锥体（pyramid of vision）。棱锥体外的所有对象，都会被裁剪子程序消除。

视觉棱锥体：

注: 投影中心也是投影参考点。

添加垂直于\(z_{view}\)的远、近平面，可得到棱台观察体（frustum view volumes）。通常，远、近平面位于投影参考点同侧（简化版人眼/相机观察模型），且远平面距投影参考点更远。

棱台观察体：

注：有些应用/模型为计算方便，将近裁剪平面设为与观察平面重合.

透视投影变换矩阵

式(14)给出透视投影变换的一般形式，但不能直接得到变换矩阵，因为x、y系数含z（非常数）。可将其转化成别的参数形式，然后再用三维齐次坐标表示：

\[\tag{19} x_p={x_h\over h},y_p={y_h\over h} \]

其中，任一点\(P(x,y,z)\)，P的投影点\(P'(x_p,y_p,z_p)\)，投影参考点\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，观察平面\(z=z_{vp}\)。

齐次参数：

\[\tag{20} h=z_{prp}-z \]

\(x_h,y_h\)：

\[\tag{21} \begin{aligned} x_h=x(z_{prp}-z_{vp})+x_{prp}(z_{vp}-z)\\ y_h=y(z_{prp}-z_{vp})+y_{prp}(z_{vp}-z) \end{aligned} \]

用齐次坐标的矩阵变换表示透视变换：

\[\tag{22} P_h=M_{pers}\cdot P \]

其中，\(P_h=(x_h,y_h,z_h,h)^T,P=(x,y,z,1)^T\)

可得一种可能的透视投影变换矩阵：

\[\tag{22} M_{pers}=\begin{bmatrix} z_{prp}-z_{vp} & 0 & -x_{prp} & x_{prp}z_{vp}\\ 0 & z_{prp}-z_{vp} & -y_{prp} & y_{prp}z_{vp}\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & z_{prp} \end{bmatrix} \]

其中，参数\(s_z,t_z\)是z坐标投影值规范化过程中的比例和平移因子，值依赖于棱台观察体范围和规范化范围。如果不放缩、平移，则默认值分别为1, 0。

特例：如果将投影参考点限制在观察原点，且不做规范化和平移即\(s_z=1,t_z=0\)，则\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 那么，\(h=-z\)

\[\begin{aligned} M_{pers}&=\begin{bmatrix} -z_{vp} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -z_{vp} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

对称透视投影椎体

两种描述方法：

1. 使用中心线

从投影参考点到裁剪窗口中心并穿过观察体的线条，是透视投影棱台的中心线。如下图，如果中心线⊥投影平面，则观察体为对称棱台（symmetric frustum）（相对于中心线）。

观察坐标系下，观察平面\(z=z_{vp}\)，投影参考点\(P_{prp}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，则中心线与观察平面交于\((x_{prp},y_{prp},z_{vp})\)。裁剪窗口宽、高分别为width、height，则裁剪窗口边界：

\[\begin{aligned} xw_{min}&=x_{prp}-{width\over 2}, xw_{max}=x_{prp}+{width\over 2}\\ yw_{min}&=y_{prp}-{height\over 2}, yw_{max}=y_{prp}+{height\over 2} \end{aligned} \]

注意：xw/yw的w指clipping window.

因此，对于对称透视投影锥体，可用裁剪窗口宽、高代替窗口坐标。

2. 使用视场角、裁剪窗口宽高比

视场角（field-of-view angle）：棱台的上裁剪平面与下裁剪平面的夹角。对称棱台近似于照相机镜头捕获的场景视锥，可用于度量镜头的尺寸。

视场角与裁剪窗口高度关系：

\[\tag{23} \tan ({\theta\over 2})={height/2\over z_{prp}-z_{vp}} \]

于是，裁剪窗口高度：

\[\tag{24} height=2(z_{prp}-z_{vp})\tan ({\theta\over 2}) \]

再利用裁剪窗口宽高比aspect，就能得到宽度：\(width=aspect\cdot height\)

对称棱台观察体经透视投影变换后，变成矩形平行管道观察体，变换后的点的范围限制在平行管道观察体内：

斜透视投影棱台

如果透视投影观察体的中心线不垂直于观察平面，则得到一个斜棱台（oblique frustum）。

斜透视投影 = 错切 + 透视变换

斜棱台顶视图：

斜棱台投影观察体，可通过相对于z轴的x方向、y方向错切（参见三维错切）变换成对称棱台。

为计算方便，将投影参考点设为观察原点，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 可设错切矩阵：

\[\tag{24} \begin{aligned} M_{zshear}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & sh_{zx} & 0\\ 0 & 1 & sh_{zy} & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

如果观察平面 = 近裁剪平面（即\(z_{vp}=z_{near}\)），则透视投影矩阵可进一步简化。

∵错切将裁剪窗口\((xw_{min},xw_{max},z_{near})\)中心移到观察平面原点\((0,0,z_{near})\)处

∴错切参数\(sh_{zx},sh_{zy}\)满足：

\[\tag{25} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ z_{near}\\ 1 \end{bmatrix}= M_{zshear}\cdot \begin{bmatrix} {xw_{min}+xw_{max}\over 2}\\ {yw_{min}+yw_{max}\over 2}\\ z_{near}\\ 1 \end{bmatrix} \]

∴有

\[\tag{26} \begin{aligned} sh_{zx}&=-{xw_{min}+xw_{max}\over 2z_{near}}\\ sh_{zy}&=-{yw_{min}+yw_{max}\over 2z_{near}} \end{aligned} \]

• 简化（对称）透视投影矩阵

当投影参考点位于观察原点，且近裁剪平面与观察平面重合（OpenGL默认）时，则透视投影变换矩阵(22)可简化为：

\[\tag{27} M_{pers}=\begin{bmatrix} -z_{near} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -z_{near} & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

其中，z坐标缩放和平移参数\(s_z, t_z\)由规范化确定。\(h=z_{prp}-z=-z\)

• 简化斜透视投影矩阵

将简化后的透视矩阵(27)和错切矩阵(24)合并，可得到将场景中坐标转换为齐次正交坐标系的斜透视投影矩阵。该变换中，投影参考点是观察原点，近裁剪平面是观察平面：

\[\tag{28} \begin{aligned} M_{oblique\_pers}&=M_{pers}\cdot M_{zshear}\\ &=\begin{bmatrix} -z_{near} & 0 & {xw_{min}+xw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & -z_{near} & {yw_{min}+yw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

如果裁剪窗口关于观察原点对称，即\(xw_{max}=-xw_{min},yw_{max}=-yw_{min}\)，则棱台观察体是对称的，(28)可简化为(27)（无需错切，因为投影参考点位于观察原点）。

透视投影的规范化变换

透视投影最后一步：棱台观察体（矩形平行管道，坐标符合右手系）\(\xrightarrow{规范化}\)规范化观察体（对称立方体，坐标符合左手系）。

透视投影规范化 = 平行管道观察体的正交投影

规范化示意图（近裁剪平面作为观察平面）：

规范化变换中，矩形平行管道中心线\(z_{view}\)，在x、y方向不再需要平移，只需要相对于原点的x、y缩放。xy规范化缩放矩阵：

\[\tag{29} M_{xyscale}=\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

将(28)(29)合并，生成透视投影变换的规范化矩阵：

\[\tag{30} \begin{aligned} M_{norm\_pers}&=M_{xyscale}\cdot M_{oblique\_pers}\\ &=\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -z_{near} & 0 & {xw_{min}+xw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & -z_{near} & {yw_{min}+yw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -z_{near}s_x & 0 & \frac{xw_{min}+xw_{max}}{2}s_x & 0\\ 0 & -z_{near}s_y & \frac{yw_{min}+yw_{max}}{2}s_y & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

(30)对应的规范化变换：

\[\tag{31} \begin{pmatrix} x_h\\ y_h\\ z_h\\ h \end{pmatrix} =M_{norm\_pers}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} \]

∴\(P(x,y,z)\)的投影坐标\(P'(x_p,y_p,z_p)\)：

\[\begin{aligned} x_p&=\frac{x_h}{h}=\frac{-s_xz_{near}x+s_x(xw_{min}+xw_{max})/2}{-z}\\ y_p&=\frac{y_h}{h}=\frac{-s_yz_{near}x+s_y(yw_{min}+yw_{max})/2}{-z}\\ z_p&=\frac{z_h}{h}=\frac{s_zz+t_z}{-z} \end{aligned} \]

其中，\(h=-z\)

如何确定参数\(s_x,s_y,s_z,t_z\)？

坐标映射：\((xw_{min},yw_{min},z_{near})\xrightarrow{}(-1,-1,-1), (xw_{max},yw_{max},z_{far})\xrightarrow{}(1,1,1)\).

\(s_x,s_y\)分别将长度\(xw_{max}-xw_{min},yw_{max}-yw_{min}\)放缩为新长度2,2
∴

\[\begin{aligned} s_x&=\frac{2}{xw_{max}-xw_{min}},\\ s_y&=\frac{2}{yw_{max}-yw_{min}} \end{aligned} \]

\(s_z,t_z\)将输入坐标\(z_{near},z_{far}\)分别转换为\(-1,1\)
∴需满足

\[\begin{aligned} -1&=\frac{s_zz_{near}+t_z}{-z_{near}}\\ 1&=\frac{s_zz_{far}+t_z}{-z_{far}} \end{aligned} \]

∴有

\[\begin{aligned} s_z&=\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}},\\ t_z&=\frac{-2z_{near}z_{far}}{z_{near}-z_{far}} \end{aligned} \]

∴代入(30)可得

\[M_{norm\_pers}=\begin{pmatrix} \frac{-2z_{near}}{xw_{max}-xw_{min}} & 0 & \frac{xw_{min}+xw_{max}}{xw_{max}-xw_{min}} & 0\\ 0 & \frac{-2z_{near}}{yw_{max}-yw_{min}} & \frac{yw_{min}+yw_{max}}{yw_{max}-yw_{min}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}} & \frac{-2z_{near}z_{far}}{z_{near}-z_{far}}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

这就是透视投影（包括规范化）矩阵.

注意：该投影矩阵对应模型与OpenGL约定一致，包括
1）观察坐标系为右手系统，规范化坐标系为左手系统；
2）投影参考点位于观察原点，观察平面位于近裁剪平面；
3）远、近裁剪平面关系：\(z_{far}<z_{near}<0\)（包含符号）.