高等代数笔记：可逆矩阵

目录

• 方阵行列式性质
• 可逆矩阵定义
• 伴随矩阵与可逆矩阵
• 可逆矩阵的性质
  • 几个重要性质
  • 初等变换法

方阵行列式性质

可逆矩阵定义

定义1 对于数域K上的矩阵A，如果存在矩阵B，使得\(AB=BA=I\)，那么称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵）.

tips：
1）A、B可交换=>可逆矩阵一定是方阵.
2）如果A是可逆矩阵，那么B唯一.

定义2 如果A是可逆矩阵，那么B为A的逆矩阵，记\(A^{-1}\).

如果A是可逆矩阵，那么

\[AA^{-1}=A^{-1}A=I,(A^{-1})^{-1}=A \]

A可逆充要条件：\(|A|=0\)

伴随矩阵与可逆矩阵

根据行列式展开定理（参见高等代数笔记：行列式）知，

\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, & k=i\\ 0 & k\neq i \end{cases} \]

有，

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&...&....&...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\ ...&...&....&...\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} |A| & 0 & ... & 0\\ 0 & |A| & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix} =|A|I \]

令

\[A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\ ...&...&....&...\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{pmatrix} \]

称\(A^*\)为A的伴随矩阵.

于是，

\[AA^*=|A|I \]

同理，可得\(A^*A=|A|I\)

定理1 数域K上n级矩阵A可逆的充要条件：\(|A|\neq 0\). 当A可逆时，

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* \]

证明：必要性. 假设A可逆.
有\(AA^{-1}=I\)
∴\(|A||A^{-1}|=1\)（|AB|=|A||B|证明见高等代数笔记：矩阵运算矩阵乘积的秩部分定理2）
∴\(|A|\neq 0\)

充分性. 假设\(|A|\neq 0\)
有

\[(\frac{A^*}{|A|})A=I \]

∴A可逆，且\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)

矩阵\(A_{n\times n}\)可逆其他充要条件：
<=>A为满秩矩阵
<=>A的行（列）向量组线性无关
<=>A的行（列）向量组为\(K^n\)的一个基
<=>A的行（列）空间等于\(K^n\)

命题1 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果\(AB=I\)，那么A与B都是可逆矩阵，且\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\).

证明：

∵\(AB=I\)
∴\(|AB|=|A||B|=|I|=1\)
∴\(|A|,|B|\neq 0\)
∴A,B可逆，\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\)

可逆矩阵的性质

几个重要性质

性质1 单位矩阵I可逆，且\(I^{-1}=I\).

证明：

\[I^{-1}I=I^{-1},\space I^{-1}I=I \implies I^{-1}=I \]

性质2 如果A可逆，那么\(A^{-1}\)也可逆，且\((A^{-1})^{-1}=A\).

证明：
∵A可逆
∴\((A^{-1})A=I\)
∴\((A^{-1})^{-1}=A\)

性质3 如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，且\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

证明：

\[(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=I\implies (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

性质4 如果A可逆，那么A'也可逆，且\((A')^{-1}=(A^{-1})'\).

证明：

\[A'(A^{-1})'=(A^{-1}A)'=I'=I\implies (A')^{-1}=(A^{-1})' \]

性质5 可逆矩阵经初等行变换成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵.

tips：简化行阶梯形矩阵为：1）阶梯形矩阵；2）所有的非零行第一个元素（主元）均为1，所在列其他元素都为0.

证明：
n级可逆矩阵A，经初等行变换成简化阶梯形矩阵J，那么J的非零行个数为n
∴J有n个主元
又n主元位于不同列
∴位于第1，2，...，n列，且主元所在列其余元素均为0
∴

\[J=\begin{pmatrix} 1&0&...&0\\ 0&1&...&0\\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&1 \end{pmatrix} =I \]

性质6 矩阵A可逆的充要条件：它可以表示成一些初等矩阵的乘积.

证明：必要性. 假设A可逆
由性质5知，∃初等矩阵\(P_1,P_2,...,P_k\)，使得
\(P_k...P_2P_1A=I\)

∴\(A=(P_k...P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1}P_2^{-1}...P_k^{-1}\)

而由命题1，初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵
故必要性得证.

充分性. 假设A能表示成一些初等矩阵的乘积
∵初代矩阵可逆
∴它们的乘积也可逆，即A可逆

性质7 用一个可逆矩阵左（右）乘矩阵A，不改变A的秩.

证明：
先证左乘A. 设P为可逆矩阵
由性质6，∃初等矩阵\(P_1,P_2,...,P_k\)，使得\(P=P_1P_2...P_k\)

∴\(PA=P_1P_2...P_kA\)
PA相当于对A做一系列初等行变换，而初等行变换不改变矩阵的秩
∴\(rank(PA)=rank(A)\)

再证右乘A. 设Q为可逆矩阵，则Q'也为可逆矩阵
根据左乘结论，

\[rank(AQ)=rank[(AQ)']=rank(Q'A')=rank(A')=rank(A) \]

初等变换法

求逆矩阵的另一个重要方法，即初等变换法.

设A是n级可逆矩阵，则∃初等矩阵\(P_1P_2...P_k\)，使得

\[P_k...P_2P_1A=I \implies P_k...P_2P_1I=A^{-1} \]

有，

\[\begin{aligned} A&\xrightarrow{初等行变换}I,\\ I&\xrightarrow{上面的初等行变换}A^{-1} \end{aligned} \]

也就是说，

\[(A,I)\xrightarrow{初等行变换}(I,A^{-1}) \]