矩阵运算
2个矩阵相等：行数、列数相等，且所有位置对应元素相等.
即： A的(i, j)元 = B(i, j)元
矩阵有三种运算：加法、数乘、乘法.
和(加法)
定义1 设\(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\)都是数域K上\(s \times n\)矩阵，令\(C=(a_{ij}+b_{ij})_{s\times n}\)，则称C是A和B的和，记C=A+B.
数乘
定义2 设\(A=(a_{ij})\)是数域K上\(s \times n\)矩阵，k∈K，令\(M=(ka_{ij})_{s\times n}\)，则称M是k与A的数量乘积，记M=kA.
负矩阵
设\(A=(a_{ij})_{s\times n}\)
负矩阵：\(-A=(-a_{ij})_{s\times n}\)
减法：\(A-B\xlongequal{def}A+(-B)\)
运算法则
- A+B=B+A 加法交换律
- (A+B)+C=A+(B+C) 加法结合律
- A+0=0+A=A 与0的加法
- A+(-A)=(-A)+A=0 与负矩阵加法
- 1A=A 数乘1
- (kl)A=k(lA) 数乘结合律
- (k+l)A=kA+lA 数乘分配律
- k(A+B)=kA+kB 数乘分配律
矩阵乘法
定义3 设\(A=(a_{ij})_{s\times n}, B=(b_{ij})_{n\times m}\)，令\(C=(c_{ij})_{s\times m}\)，其中\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}, i=1,2,...,s; j=1,2,...,m\)，则矩阵C称为A与B的乘积，记\(C=AB\).
要点：
1）左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相同，才能做乘法；
2）C的(i,j)元=A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和；
3）C行数=A行数，C列数=B列数
1 乘法结合律
设\(A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{n\times m},C=(c_{ij})_{m\times r}\)，则\((AB)C=A(BC)\).
证明：(AB)C、A(BC)都是\(s\times r\)矩阵
\[\begin{aligned}
&[(AB)C](i;j)=\sum_{l=1}^m[(AB)(i;l)]c_{lj}=\sum_{l=1}^m(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj})c_{lj}=\sum_{l=1}^m(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}c_{lj})\\
&[A(BC)](i;j)=\sum_{k=1}^na_{ik}[(BC)(k;j)]=\sum_{k=1}^na_{ik}(\sum_{l=1}^mb_{kl}c_{lj})= \sum_{k=1}^n(\sum_{l=1}^ma_{ik}b_{kl}c_{lj}) =\sum_{l=1}^m(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}c_{lj})\\
&\implies [(AB)C](i;j)=[A(BC)](i;j), i=1,2,...,s;j=1,2,...,m\\
&\implies (AB)C=A(BC)
\end{aligned}
\]
tips:
1）矩阵乘法没有交换律
2）BA=0不能推导出B=0或A=0
2 左分配律、右分配律
左分配律：
\[A(B+C)=AB+AC
\]
右分配律：
\[(B+C)D=BD+CD
\]
证明：
左分配律：
A是\(s\times n\)矩阵，B、C是\(n\times m\)矩阵=>A(B+C)、AB、AC都是\(s\times m\)矩阵
\[\begin{aligned}
[A(B+C)](i;j)&=\sum_{k=1}^sa_{ik}[(B+C)(k;j)]=\sum_{k=1}^sa_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^s(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj})\\
(AB+AC)(i;j)&=(AB)(i;j)+(AC)(i;j)=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^sa_{ik}c_{ik}=\sum_{k=1}^s(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj})\\
\implies & [A(B+C)](i;j)=(AB+AC)(i;j),i=1,2,...,s;j=1,2,...,m\\
\implies & A(B+C) = AB+AC
\end{aligned}
\]
同理可证右分配律.
3 单位矩阵
主对角线元素都是1、其余元素为0的n级单位矩阵，记\(I_n\)或\(I\).
A是n级矩阵(\(n\times n\))
\[IA=AI=A
\]
4 矩阵乘法、数乘
\[k(AB)=(kA)B=A(kB)
\]
5 数量矩阵
主对角线元素都是k、其余为0的n级矩阵，称为数量矩阵，记\(kI\).
6 可交换
矩阵A、B，如果\(AB=BA\)，称A与B可交换.
注意：矩阵乘法不适用交换律
7 非负整数次幂
n级矩阵A的非负整数次幂：
\[\begin{aligned}
A^m&\xlongequal{def}A\cdot A\cdot ... \cdot A, m\in Z^+\\
A^0&\xlongequal{def}I
\end{aligned}
\]
有，
\[A^kA^l=A^{k+l}, (A^k)^l=A^{k+l}, k,l\in N
\]
8 矩阵加法、数乘、乘法、转置关系
\[\begin{aligned}
(A+B)'&=A'+B'\\
(kA)'&=kA'\\
(AB)'&=(B'A')
\end{aligned}
\]
特殊矩阵
对角矩阵
定义1 主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵，记\(diag\{d_1,d_2,...,d_n\}\).
tips: 数量矩阵是特殊的对角矩阵，单位矩阵是特殊的数量矩阵.
命题1 用对角矩阵左乘矩阵A，相当于对角矩阵的主对角元分别去乘A相应的行；用对角矩阵右乘A，相当于乘A的列.
证明：
设A为\(s\times n\)矩阵，行向量组：\(\bm{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s}\)；列向量组\(\bm{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\)
对角矩阵左乘A：
\[\begin{pmatrix}
d_1 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & d_2 & 0 & ... & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & 0 & ... & d_s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{\gamma_1}\\
\bm{\gamma_2}\\
...\\
\bm{\gamma_s}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
d_1\bm{\gamma_1}\\
d_2\bm{\gamma_2}\\
...\\
d_s\bm{\gamma_s}
\end{pmatrix}
\]
对角矩阵右乘A：
\[(\bm{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n})
\begin{pmatrix}
d_1 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & d_2 & 0 & ... & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & 0 & ... & d_n
\end{pmatrix}
=(d_1\bm{\alpha_1},d_2\bm{\alpha_2},...,d_n\bm{\alpha_n})
\]
基本矩阵
定义2 只有一个元素是1，其余元素都为0的矩阵，称基本矩阵. (i,j)元为1的基本矩阵记\(E_{ij}\).
命题2 \(E_{ij}A\)等价于A的第j行搬到乘积的第i行，其余行全为0；\(AE_{ij}\)等价于A的第i列搬到乘积的第j列，其余列全为0.
证明：
设A为\(s\times n\)矩阵，行向量组：\(\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\)；列向量组：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\).
\[\begin{aligned}
&// 左乘A\\
&E_{ij}A=\begin{pmatrix}
0 & ... & 0(1;j) & ... & 0\\
0 & ... & 1(i;j) & ... & 0\\
0 & ... & 0 & ... & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma_1\\
\gamma_2\\
...\\
\gamma_s
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
...\\
0\\
\gamma_j(i;1)\\
0\\
...\\
0
\end{pmatrix}\\
&// 右乘A\\
&AE_{ij}=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)\begin{pmatrix}
0 & ... & 0(1;j) & ... & 0\\
0 & ... & 1(i;j) & ... & 0\\
0 & ... & 0 & ... & 0
\end{pmatrix}\\
&=(0,...,0,\alpha_i(1;j),0,...,0)
\end{aligned}
\]
上（下）三角矩阵
定义3 主对角线下（上）方的元素全为0的方阵，称上（下）三角矩阵.
\(A=(a_{ij})\)为上三角矩阵充要条件：\(a_{ij}=0, 当i>j\)
命题3 2个n级上三角矩阵A、B的乘积，仍为上三角矩阵，且AB的主对角元=A、B相应的主对角元的乘积.
证明：
\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)都是上三角矩阵，有
\[(AB)(i;j)=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^ja_{ik}b_{kj}+\sum_{k=j+1}^na_{ik}b_{kj}
\]
要判断AB是否为上三角矩阵，就需要判断左下角元素是否为0. 设i>j.
\(1\le k \le j\)时，\(k\le j < i\)
∵A是上三角
∴\(a_{ik}=0\)
\(j+1\le k \le n\)时，\(j<k\)
∵B是上三角
∴\(b_{kj}=0\)
∴\((AB)(i;j)=0, i > j\)
∴AB是上三角
主对角元：
\[\begin{aligned}
(AB)(i;i)&=\sum_{k=1}^ia_{ik}b_{ki}+\sum_{k=i+1}^na_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}b_{ki}+a_{ii}b_{ii}+\sum_{k=i+1}^na_{ik}b_{ki}\\
&=0+a_{ii}b_{ii}+0=a_{ii}b_{ii}
\end{aligned}
\]
初等矩阵
定义4 由单位矩阵经过一次初等行（列）变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
\[\begin{aligned}
I&\xrightarrow{r_j+r_ik}P(j,i(k)), 第i行*k加到第j列\\
I&\xrightarrow{(r_i,r_j)}P(i,j), 第i、j行互换\\
I&\xrightarrow{r_ic}P(i(c)),c\neq 0, 第i行*c;
\end{aligned}
\]
设A为\(s\times n\)矩阵，行向量组\(\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\)；列向量组\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\).
有：
1）P(j,i(k))左乘A<=>把A的第i行*k加到第j行，其余行不变；右乘A对应列变换
证（左乘）：
\[P(j,i(k))A=\begin{pmatrix}
1 & & & & & &\\
& ... & & & & &\\
& & 1(i;i) & & & &\\
& & ... & ... & & &\\
& & k(j;i) & ... & 1(j;j) & & \\
& & & & & ... & \\
& & & & & & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma_1\\
\gamma_2\\
...\\
\gamma_s
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\gamma_1\\
\gamma_2\\
...\\
\gamma_i\\
...\\
k\gamma_i+\gamma_j\\
...\\
\gamma_s
\end{pmatrix}
\]
2）P(i,j)左乘A<=>把A的第i、j行互换，其余行不变；右乘对应列变换
3）P(i(c))(c≠0)左乘A<=>A的第i行*c，其余行不变；右乘对应列变换
证略.
定理1 用初等矩阵左（右）乘矩阵A，相当于A做了一次相应的初等行（列）变换.
对称矩阵
定义5 矩阵A如果满足\(A'=A\)，那么A是对称矩阵.
tips: 1）对称矩阵一定是方阵
2）A'是A转置矩阵
\(A'(i;j)=A(j;i)=A(i;j),i,j=1,2,...,n\)
命题4 设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则A+B,kA(k∈K)上的对称矩阵.
证明：
\[\begin{aligned}
&(A+B)'=A'+B'=A+B\\
&(kA)'=kA'=kA
\end{aligned}
\]
命题5 设A、B都是n级对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件：A与B可交换.
tips：A与B可交换，即\(AB=BA\)
证明：
∵A、B都是对称矩阵
∴\((AB)'=B'A'=BA\)
必要性 假设AB为对称矩阵
∴\((AB)'=AB=BA\)
∴AB可交换
充分性 假设A与B可交换
∴\(AB=BA=(AB)'\)
斜对称矩阵
定义6 矩阵A如果满足\(A'=-A\)，那么A是斜对称矩阵.
tips：1）斜对称矩阵一定是方阵
n级斜对称矩阵A：
\[A(i;j)=-A(j;i), A(i;i)=0, i,j=1,2,...,n
\]
命题6 数域K上奇数斜对称矩阵的行列式=0.
证明：
设A为n级斜对称矩阵，n是奇数，有\(A'=-A\)
∴\(|A'|=|-A|\)
∵矩阵转置不改变行列式值
∴\(|A'|=|A|\)
-A是在A的每一项前添加1个"-"
\[\begin{aligned}
|-A|&=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}(-a_{1j_1})(-a_{2j_2})...(-a_{nj_n})\\
&=(-1)^n\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\\
&=(-1)^n|A|\\
&=-|A|
\end{aligned}
\]
∴\(|A|=-|A|\implies |A|=0\)
矩阵乘积的秩与行列式
矩阵乘积的秩
矩阵的秩（rank）：从矩阵的行（列）向量组至多有多少个线性无关的向量.
方阵的行列式：方阵不同行、列的元素乘积的代数和，判断线性方程组是否有唯一解.
定理1 设\(A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{n\times m}\)，则
\[rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}
\]
证明：设A的列向量组为\(\bm{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\)
∴
\[\begin{aligned}
AB&=(\bm{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n})\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & ... & b_{1m}\\
b_{21} & b_{22} & ... & b_{2m}\\
... & ... & ... & ...\\
b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nm}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
b_{11}\bm{\alpha_1}+b_{21}\bm{\alpha_2}+...+b_{n1}\bm{\alpha_n},
...,
b_{1m}\bm{\alpha_1}+b_{2m}\bm{\alpha_2}+...+b_{nm}\bm{\alpha_n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
∴AB的列向量组可由A的列向量组线性表示
∴AB的列秩 ≤ A的列秩，即\(rank(AB)\le rank(A)\)
又
\[rank(AB)=rank[(AB)']=rank(B'A')\le rank(B')=rank(B)
\]
∴\(rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}\)
矩阵乘积对应行列式
定理2 设\(A=(a_{ij})_{n\times n},B=(b_{ij})_{n\times n}\)，则
\[|AB|=|A||B|
\]
tips: 由Laplace定理(见高等代数笔记：行列式按k行展开)的推论知，
\[\begin{vmatrix}
A&0\\C&B
\end{vmatrix}
=|A||B|
\]
A、B、C都是\(n\times n\)矩阵. 简单起见，取C=-I. 能不能变换行列式以出现|AB|？
证明：
由Laplace定理的推论，知
\[\begin{vmatrix}
A&0\\-I&B
\end{vmatrix}
=|A||B|
\]
又
\[\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A&0\\-I&B
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&0&0&...&0\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&0&0&...&0\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}&0&0&...&0\\
-1&0&...&0&b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\
0&-1&...&0&b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
0&0&...&-1&b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{\begin{aligned}r_1+r_{n+1}a_{11}\\
r_1+r_{n+2}a_{12}\\
...\\
r_1+r_{2n}a_{1n}\end{aligned}}
\begin{vmatrix}
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{kn}\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&0&0&...&0\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}&0&0&...&0\\
-1&0&...&0&b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\
0&-1&...&0&b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
0&0&...&-1&b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{\begin{aligned}r_2+r_{n+1}a_{21}\\
r_2+r_{n+2}a_{22}\\
...\\
r_2+r_{2n}a_{2n}\end{aligned}}
\begin{vmatrix}
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{kn}\\
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{2k}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{2k}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{2k}b_{kn}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}&0&0&...&0\\
-1&0&...&0&b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\
0&-1&...&0&b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
0&0&...&-1&b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}
\end{vmatrix}\\
&...\\
&\xlongequal{\begin{aligned}
r_n+r_{n+1}a_{n1}\\
r_n+r_{n+2}a_{n2}\\
...\\
r_n+r_{2n}a_{nn}
\end{aligned}}
\begin{vmatrix}
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{kn}\\
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{2k}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{2k}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{2k}b_{kn}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
0&0&...&0 &\sum_{k=1}^na_{nk}b_{k1} & \sum_{k=1}^na_{nk}b_{k2}&...&\sum_{k=1}^na_{nk}b_{kn}\\
-1&0&...&0&b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\
0&-1&...&0&b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
0&0&...&-1&b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
0 & AB\\
-I & B
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{Laplace定理}|AB|(-1)^{(1+2+...+n)+[(n+1)+(n+2)+...(n+n)]}|-I|\\
&=|AB|(-1)^{n(2n+1)}(-1)^{n}|I|=|AB|
\end{aligned}
\]
∴\(|A||B|=|AB|\)
推广：
1）\(|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|\)
2）\(|A_1A_2...A_n|=|(A_1A_2...A_{n-1})A_n|=|A1A_2...A_{n-1}||A_n|=...=|A_1||A_2|...|A_n|\)
