高等代数笔记：范德蒙行列式
什么是范德蒙行列式
n阶行列式：
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & ... & 1\\
a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n\\
...\\
a_1^{n-2} & a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & ... & a_n^{n-2}\\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}
\]
称为范德蒙（Vandermonde）行列式. n>=2时，其值为
\[\begin{aligned}
\prod_{1\le j < i < n}(a_i-a_j)=(a_2-a_1)(a_3-a_1)...(a_{n-1}-a_1)(a_n-a_1)&\\
\cdot(a_3-a_2)...(a_{n-1}-a_2)(a_n-a_2)&\\
\cdot...&\\
\cdot(a_{n-1}-a_{n-2})(a_n-a_{n-2})\\
\cdot(a_n-a_{n-1})
\end{aligned}
\]
证明
数学归纳法证明范德蒙行列式.
n=2时，
\[\begin{vmatrix}
1 & 1\\
a_1 & a_2
\end{vmatrix}
=a_2-a_1
\]
n=3时，
\[\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & a_3\\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2
\end{vmatrix}
&\xlongequal{r_3-a_1r_2}\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & a_3\\
0 & a_2(a_2-a_1) & a_3(a_3-a_1)
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{r_2-a_1r_1}\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & a_2-a_1 & a_3-a_1\\
0 & a_2(a_2-a_1) & a_3(a_3-a_1)
\end{vmatrix}\\
&=(a_2-a_1)(a_3-a_1)\begin{vmatrix}
1 & 1\\
a_2 & a_3
\end{vmatrix}\\
&=(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)
\end{aligned}
\]
这也是猜想范德蒙行列式值为\(\prod_{1\le j < i < n}(a_i-a_j)\)的原因.
假设对于n-1阶范德蒙行列式成立. 其中一个（去掉n阶的第1列、最后1行）为：
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
a_2 & a_3 & ... & a_n\\
...\\
a_2^{n-3} & a_3^{n-3} & ... & a_n^{n-3}\\
a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & ... & a_n^{n-2}
\end{vmatrix}
=\prod_{2\le j < i \le n}(a_i-a_j)
\]
如何推导出n阶范德蒙行列式成立？
可将第n-1行的\((-a_1)\)倍加到第n行，接着把第n-2行的\((-a_1)\)倍加到第n-1行，依此类推，最后把第1行的\((-a_1)\)行加到第2行，可得：
\[\begin{aligned}
原式&\xlongequal{\begin{aligned}r_{n-1}-a_1r_{n-2}\\r_{n-2}-a_1r_{n-3}\\...\\r_2-a_1r_1\end{aligned}}\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & ... & 1\\
0 & a_2-a_1 & a_3-a_1 & ... & a_n-a_1\\
0 & a_2^2-a_1a_2 & a_3^2-a_1a_3 & ... & a_n^2-a_1a_n\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & a_2^{n-2}-a_1a_2^{n-3} & a_3^{n-2}-a_1a_3^{n-3} & ... & a_n^{n-2}-a_1a_n^{n-3}\\
0 & a_2^{n-1}-a_1a_2^{n-2} & a_3^{n-1}-a_1a_3^{n-2} & ... & a_n^{n-1}-a_1a_n^{n-2}
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{按第一列展开}\begin{vmatrix}
a_2-a_1 & a_3-a_1 & ... & a_n-a_1\\
a_2(a_2-a_1) & a_3(a_3-a_1) & ... & a_n(a_n-a_1)\\
... & ... & ... & ...\\
a_2^{n-3}(a_2-a_1) & a_3^{n-3}(a_3-a_1) & ... & a_n^{n-3}(a_n-a_1)\\
a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & ... & a_n^{n-2}(a_n-a_1)
\end{vmatrix}\\
&=(a_2-a_1)(a_3-a_1)...(a_n-a_1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
a_2 & a_3 & ... & a_n\\
... & ... & ... & ...\\
a_2^{n-3} & a_3^{n-3} & ... & a_n^{n-3}\\
a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & ... & a_n^{n-2}
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{由n-1阶假设}(a_2-a_1)(a_3-a_1)...(a_n-a_1)\prod_{2\le j < i \le n}(a_i-a_j)\\
&=\prod_{1\le j < i \le n}(a_i-a_j)\\
\end{aligned}
\]
故得证.
应用
例 判断下面数域K上n元线性方程组是否有解？如果有解，有多少解？
\[\begin{cases}
x_1+ax_2+a^2x_3+...+a^{n-1}x_n=b_1\\
x_1+a^2x_2+a^4x_3+...+a^{2(n-1)}x_n=b_2\\
...\\
x_1+a^nx_2+a^{2n}x_3+...+a^{n(n-1)}x_n=b_n\\
\end{cases}
\]
其中，a≠0且当0<r<n时，\(a^r\neq 1\).
解：
系数行列式
\[|A|=\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & ... & a^{n-1}\\
1 & a^2 & a^4 & ... & a^{2(n-1)}\\
... & ... & ... & ... & ...\\
1 & a^n & a^{2n} & ... & a^{n(n-1)}
\end{vmatrix}
\xlongequal{转置}\begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
a & a^2 & ... & a^n\\
a^2 & a^4 & ... & a^{2n}\\
... & ... & ... & ...\\
a^{n-1} & a^{2(n-1)} & ... & a^{n(n-1)}
\end{vmatrix}
\]
这是个范德蒙行列式，不过\(a_1=a, a_2=a^2, ... a_n=a^n\)
∵a≠0且0<r<n时, \(a^r\neq 1\)
∴\(a,a^2,...,a^n\)两两各不相等
∴
\[|A|=\prod_{1\le j< i \le n}(a_i-a_j)=\prod_{1\le j< i \le n}(a^i-a^j)\neq 0
\]
根据克莱姆法则定理1知，方程组有唯一解.
