高等代数笔记：克莱姆法则（Cramer's Rule）

目录

• 线性方程组何时有解
• 求线性方程组的唯一解

线性方程组何时有解

先说结论：克莱姆法则用于求n元线性方程组的唯一解. 下面的定理1、定理2合称克莱姆法则（Cramer's Rule）.

数域K上n个方程的n元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} \]

系数矩阵记A，增广矩阵\(\widetilde{A}=(A, b)\)，行阶梯形矩阵\(\widetilde{J}=(J,d)\).

\[\begin{aligned} \widetilde{A}\xrightarrow{初等行变换}\widetilde{J}\\ A\xrightarrow{初等行变换}J \end{aligned} \]

1）方程组无解=>\(\widetilde{J}\)有非零行(0,...,0,d)=>J有零行=>\(|J|=0\)，此时，出现“0=d(d≠0)”

2）有解时，有无穷解=>\(\widetilde{J}\)非零行数目r < n=>\(\widetilde{J}\)有零行=>J有零行=>\(|J|=0\)

3）有唯一解=>r=n => \(\widetilde{J}\)有n个非零行，但不能有“(0,...,0,d)”这样的非零行(否则无解)=>J有n个非零行=>J有n个主元=>\(|J|=c_{11}c_{22}...c_{nn}\neq 0\)，形如：

\[J=\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\ 0 & c_{22} & ... & c_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & c_{nn} \end{vmatrix} \]

其中，\(c_{11},c_{22},...,c_{nn}\)全都不为0

反过来，\(|J|\neq 0\)=>方程组有唯一解 成立吗？
\(|J|\neq 0\)=>J有n个主元=>J主对角线元素均非0=>\(x_n,...,x_2,x_1\)有唯一解=>方程组有唯一解

综上，方程组有唯一解当且仅当\(|J|\neq 0\).

由行列式性质（2、4、7）知，

\[A\xrightarrow{初等行变换}J \]

则有，

\[|J|=l|A|, l\neq 0 \]

∴\(|J|\neq 0\)当且仅当\(|A|\neq 0\).

可得定理：

定理1 数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解充要条件：其系数行列式（即系数行列式|A|）不为0.

证明见上.

推论1 数域K上n个方程的n元齐次线性方程组只有0解的充要条件：其系数行列式不为0. 从而有非0解充要条件是其系数行列式为0.

tips: 齐次线性方程组指常数项全为0，即\(b_1=b_2=...=b_n=0\)；
非齐次线性方程组指常数项不全为0，即\(b_1,b_2,...,b_n\)至少有1个非0.

证明：2个结论
1）
由定理1知，方程组有唯一解充要条件：系数行列式不为0，即\(|A|\neq 0\)

对于齐次线性方程组，0显然是一个解
∴只有0解充要条件：系数行列式不为0，即\(|A|\neq 0\)

2）必要性 假设有非0解
∵0是齐次线性方程组的一个解
如果要有非0解，则必定不止1个解
∴\(|A|=0\)

充分性 假设\(|A|=0\)

此时，方程组要么无解，要么有无穷解
而对于齐次线性方程组，0显然是一个解
∴方程组有无穷解
∴除0解外，其他解必为非0解
故得证

求线性方程组的唯一解

线性方程组如果有唯一解，那么解是什么？

对于2元一次方程组，解为\((\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|})\)，\(B_1, B_2\)是系数矩阵A的第1、2列换成常数项后所得矩阵.

对于n元一次方程组，可以将系数矩阵A的第j列换成常数项，得到\(B_j,j=1,2,...,n\)，即：

\[B_j=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... &...\\ a_{n1} & ... & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & ... & a_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

定理2 n个方程组的n元线性方程组的系数行列式\(|A|\neq 0\)时，其唯一解为

\[(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},...,\frac{|B_n|}{|A|}) \]

证明：
由定理1，\(|A|\neq 0\)时方程组有唯一解.

将\(x_i=\frac{|B_j|}{|A|}(j=1,2,...,n)\)代入第i个方程左边：

\[\begin{aligned} &a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{in}x_n\\ =&\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{|B_j|}{|A|}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}|B_j|\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_k(B_{j})_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^nb_k(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj})\\ =&\frac{1}{|A|}b_i|A|=b_i \end{aligned} \]

补充说明：
前面高等代数笔记：行列式提到过，行列式|A|按第i行展开：

\[|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} \]

其中，\(A_{ij}\)是矩阵A的(i,j)元的代数余子式.

因此，\(|B_j|\)按第j列展开：

\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj} \]

其中，\(b_k\)是\(B_j\)的第j列第k行元素，也是方程组第k个方程的常数项.

而\(A\)替换第j列为常数项 -> \(B_j\)

∴\(|B_j|\)与\(|A|\)的第j列代数余子式相同
即

\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj}=\sum_{k=1}^nb_kA_{kj} \]

由前面高等代数笔记：行列式知，

\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, &k=i\\ 0, &k\neq i \end{cases} \]

又k=1,2,..,n, i∈[1,n]
∴只有当k=i时，\(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}\)取值|A|，其他情形取值0