高等代数笔记：行列式

目录

• 行列式概念
• n元排列
  • 顺序数、逆序数
  • 排列奇偶性
• n阶行列式定义
  • 定义
  • 一般形式
• 行列式的性质
  • 转置
  • 数乘
  • 拆分行列式
  • 互换2行
  • 2行成比例
  • 行变换
• 行列式按一行（列）展开

从方程个数与未知量个数的线性方程组，讨论方程组有多少解，从而引出行列式.

行列式概念

二元一次方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]

其中，\(a_{11},a_{21}\)不全为0，不妨设\(a_{11}\neq 0\)，将其增广矩阵初等行变换成阶梯形矩阵：

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1\cdot (-\frac{a_{21}}{a_{11}})} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ 0 & a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{22} & b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{bmatrix} \]

注：r_1: 第一行；r_2: 第一行.

1）\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0\)时，原方程组有唯一解：

\[(\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}) \]

2）\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0\)时，原方程组有无穷解.

为方便记忆，用2阶行列式表示：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

系数矩阵A：

\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]

上面行列式是2级矩阵A的行列式，简写|A|或det A.

命题1 两个方程的二元一次方程组有解的充要条件：系数矩阵A的行列式|A|≠0，此时唯一解是：

\[\begin{bmatrix} \frac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12}\\b_2 & a_{22} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} }, &\frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_1\\a_{21} & b_2 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } \end{bmatrix} \]

n元排列

n个自然数的一个全排列，称为一个n元排列. n元排列是针对n个不同的自然数. 不过多数情况下，n元排列指自然数1，2，...，n形成的n元排列.

自然数1，2，3的3元排列：

123, 132, 213, 231, 312, 321

n个不同自然数，有n!种全排列.

顺序数、逆序数

4元排列2341，2、3形成数对23，小数在前，大数在后，称该数对构成一个顺序；2、1形成数对21，大在前，小在后，该数对构成逆序. 逆序数对有21，31，41（3对），称排列2341的逆序数是3，记为τ(2341)=3. 排列2143逆序数τ(2143)=2

逆序数为奇数的排列，称为奇排列，为偶数的排列，称为偶排列. 2341是奇排列，2143是偶排列.

将排列2341的3、1互换位置，其余不动，得到排列2143. 这样的变换称为一个对换.

排列奇偶性

定理1 对换改变n元排列的奇偶性.

证明：
1）对换的2个数在n元排列中相邻时：

...i  j...         Ⅰ
    ⬇(i,j)对换
...j  i...         Ⅱ

注：Ⅱ是Ⅰ对换后的情形.

i、j以外的数构成的数对是顺序 or 逆序，对换前Ⅰ与对换后Ⅱ都是一样的；
i和j以外的数与i（或j）构成的数对是顺序 or 逆序，对换前后也一样；
只有数对i, j发生改变：如果在Ⅰ中是顺序，则在Ⅱ中是逆序；如果在Ⅰ中是逆序，则在Ⅱ中是顺序. 对换后，Ⅱ比Ⅰ少一个逆序，即Ⅰ与Ⅱ的奇偶性相反.

2）不相邻：

...i  k1 ... ks j...         Ⅲ
        ⬇(i,j)对换
...j  k1 ... ks i...         Ⅳ

Ⅲ变成Ⅳ，可经过下列相邻两数的对换来实现：

(i,k1),...(i,ks),(i,j),(ks,j),...,(k1,j)

共进行s+1+s=2s+1次相邻数的对换. 奇数次的相邻数对换会改变排列的奇偶性，因此Ⅲ与Ⅳ的奇偶性相反.

• n元排列对换成自然数序列，对换次数与排列的奇偶关系

如果将n元排列经若干次对换，变成自然序数列123...n，如何对换？

例，5元排列

\[34521\xrightarrow{(5,1)}34125\xrightarrow{(4,2)}32145\xrightarrow{(3,1)}12345 \]

经过3次对换，排列34521（奇排列，τ(34521)=7）变成自然数序列（偶排列，τ(12345)=0）. 可知，对换次数与原排列有相同的奇偶性.

推广：对于n元排列，对换次数与原排列有相同奇偶性.

证：
设n元排列\(j_1,j_2,...,j_n\)（原排列）经s次对换变成123...n（偶排列）. 由定理1，如果原排列是奇排列，要变成偶排列，则s必为奇数；否则，s必为偶数.

定理2 任一n元排列与排列123...n可以经过一系列对换，并且所作对换次数与这个n元排列有相同的奇偶性.

证明见上.

例，求6元排列413625的逆序数，并且指出它的奇偶性.
解：逆序数对：41，43，42，32，62，65， 共6个. 413625是偶排列

n阶行列式定义

定义

2阶行列式：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} =\sum_{j_1j_2}(-1)^{r(j_1j_2)}a_{1j_1}{2j_2} \]

2阶行列式是2(=2!)项代数和，每一项是位于不同行、不同列的2个元素的乘积. 将这2个元素按行指标遵循自然序排好，列指标所成排列是偶排列时，该项正号，奇排列时该项负号.

如\(a_{11}a_{22}\)按行指标的排列12（自然序），列指标形成排列12是偶排序，因此该项正号；
\(a_{12}a_{21}\)按行指标的排列12（自然序），列指标形成排列21是奇排列，因此该项负号.

定义1 n阶行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

是n!项代数和，其中每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这n个元素以行指标为自然序排好位置，但列指标构成的排列是偶排列时，该项正号；是奇排列时，该项负号，即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \]

其中\(j_1j_2...j_n\)是n元全排列，\(\sum_{j_1j_2...j_n}\)表示对所有n元排列求和. 上式称为n阶行列式的完全展开式.

令

\[A=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

则n阶行列式也称为n级矩阵的行列式，简写|A|或det A.

由定义1，可得：

1. 1阶行列式|a|=a
2. 三元排列123，231，312是偶排列，321，213，132是奇排列，所以3阶行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{13}a_{31}+a_{13}a_{11}a_{12}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32} \]

• 上三角形行列式

主对角线下方元素全为0，即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1,n-2}&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ 0&a_{22}&a_{23}&...&a_{2,n-2}&a_{2,n-1}&a_{2n}\\ 0&0&a_{33}&...&a_{3,n-2}&a_{3,n-1}&a_{3n}\\ ...&...&...&...&....&...&...\\ 0&0&0&...&0&a_{n-1,n-1}&a_{nn}\\ 0&0&0&...&0&0&a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

如何计算n阶上三角形行列式值？
行列式中任一项：

\[(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{n-2,j_{n-1}}a_{n-1,j_{n-1}}a_{n,j_n} \]

思路: 从最后一行开始倒推

∵第n行的前n-1个元素都为0
∴如果\(j_n\neq n\)，则该项为0，即第n行只有\(j_n=n\)项非0
对于第n-1行，只能取前n-1列（第n列已被取）. 前n-2个元素都为0，如果\(j_{n-1}\neq n-1\)，则该项为0，于是取\(j_{n-1}=n-1\).
依次类推，只有取\(j_n=n,j_{n-1}=n-1,j_{n-2}=n-2,...,j_2=2,j_1=1\)时，\(a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{n-2,j_{n-2}}a_{n-1,j_{n-1}}a_{n,j_n}\)才有可能不为0，其他取法该项皆为0
∴n阶上三角形行列式值：

\[(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{n-2,j_{n-2}}a_{n-1,j_{n-1}}a_{n,j_n}=a_{11}a_{22}...a_{n-1,n-1}a_{nn} \]

命题1 n阶上三角形行列式的值=主对角线上n个元素的乘积.

证明见上.

一般形式

n阶行列式定义中，每项的n个元素乘积按行指标成自然序排好位置. 但如果没有成自然序排好位置呢？

如3阶行列式第2项\(a_{12}a_{23}a_{31}\)，如果排好位置，τ(231)=2（偶排列），则该项符号+；如果没排好位置如\(a_{23}a_{12}a_{31}\)，按乘法交换律\(a_{23}a_{12}a_{31}=a_{12}a_{23}a_{31}\)，则可将行指标、列指标对应排列的逆序数相加，该项符号取决于逆序数和，即该项可写成

\[(-1)^{τ(213)+τ(321)}a_{23}a_{12}a_{31} \]

n阶行列式的每项

\[\tag{1} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \]

可写成一般形式

\[\tag{2} (-1)^{τ(i_1i_2...i_n)+τ(j_1j_2...j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n} \]

证明：
设\(a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\)经s次相邻2元素位置对换变成\(a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n}\)，则行指标排列\(12...n\)经s次对换变成\(i_1i_2...i_n\)，列指标排列\(j_1j_2...j_n\)经s次对换变成\(k_1k_2...k_n\).

对换用符号表示如下（对换可逆）：

\[a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\xrightarrow {s}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n} \\ 12...n\xrightarrow {s}i_1i_2...i_n\\ j_1j_2...j_n\xrightarrow {s}k_1k_2...k_n \]

由定理2知，n元排列对换成自然序列，对换次数s与原n元排列的奇偶性相同，有

\[(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}=(-1)^s \]

由定理1知，对换改变排列的奇偶性，如果是偶数次对换，则对换后排列与原排列奇偶性相同；如果是奇数次对换，则奇偶性相反. 有

\[(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}(-1)^s=(-1)^{τ(k_1k_2...k_n)} \]

从而有

\[\begin{aligned} (-1)^{τ(i_1i_2...i_n)+τ(k_1k_2...k_n)}&=(-1)^s\cdot (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}(-1)^s\\ &=(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)} \end{aligned} \]

∴(1)、(2)项等价.

∴给定行指标排列\(i_1i_2...i_n\)的n阶行列式\(|A|\)：

\[|A|=\sum_{k_1k_2...k_n}(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)+τ(k_1k_2...k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n} \]

或给定列指标排列\(k_1k_2...k_n\)的n阶行列式|A|：

\[|A|=\sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)+τ(k_1k_2...k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n} \]

例 计算n阶行列式：

\[\begin{vmatrix} 0&a_1&0&...&0\\ 0&0&a_2&...&0\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&0&...&a_{n-1}\\ a_n&0&0&0&0 \end{vmatrix} \]

解：行列式每行n-1个元素为0
∴完全展开式中，可能不为0的数只有一项.
该项行指标按自然序排列12...n，列指标的排列23...n1，有

\[(-1)^{τ(12...n)+τ(23...n1)}a_1a_2...a_n=(-1)^{n-1}a_1a_2...a_n \]

行列式的性质

转置

n阶矩阵A的行与列互换得到的矩阵，称为A的转置，记为\(A'\)（或\(A^T\)，\(A^t\)）.

2阶行列式转置：

\[\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1 =\begin{vmatrix} a_1&b_1\\a_2&b_2 \end{vmatrix} \]

性质1 行列互换，行列式值不变，即

\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&...&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&...&a_{n2}\\ ...&...&...&...\\ a_{1n}&a_{2n}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=|A^T| \]

证明：
\(|A|\)的行（列）指标是\(|A^T|\)的列（行）指标

将\(|A^T|\)按列指标遵循自然序展开：

\[|A|=\sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n}\\ \]

将\(|A|\)按行指标遵循自然序展开：

\[|A^T|=\sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n} \]

∴\(|A|=|A^T|\)

性质1表明行列式的行、列地位对称. 对行成立的性质，列也成立.

数乘

性质2 行列式一行的公因子可以提出去. 即：

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ ka_{i1}&ka_{i2}&...&ka_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} =k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

证明：

按行列式定义展开

\[\begin{aligned} 左边&=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...(ka_{ij_i})...a_{nj_n}\\ &=k\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{ij_i}...a_{nj_n}\\ &=右边 \end{aligned} \]

由性质2知：如果行列式中有一行为0（一行元素全为0），则行列式值为0.

拆分行列式

对于2阶行列式，

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1+c_1&b_2+c_2 \end{vmatrix} &=a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)\\ &=(a_1b_2-a_2b_1)+(a_1c_2-a_2c_1)\\ &=\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_1&a_2\\c_1&c_2 \end{vmatrix} \end{aligned} \]

性质3 行列式中如果有一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同，即

\[\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ b_1+c_1&b_2+c_2&...&b_n+c_n\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}(第i行)\\ =&\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ b_1&b_2&...&b_n\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ c_1&c_2&...&c_n\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned} \]

证明：
按行列式定义展开：

\[\begin{aligned} 左边&=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...(b_{j_i}+c_{j_i})...a_{nj_n}\\ &=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...b_{j_i}...a_{nj_n}+\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...c_{j_i}...a_{nj_n}\\ &=右边 \end{aligned} \]

互换2行

对于2阶行列式，

\[\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 \]

互换第1、2行

\[\begin{vmatrix} b_1&b_2\\a_1&a_2 \end{vmatrix} =b_1a_2-b_2a_1=-(a_1b_2-a_2b_1) =-\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix} \]

性质4 两行互换，行列式反号. 即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}(第i、k行互换) =-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

解：按行列式定义展开

\[\begin{aligned} 右边&=-\sum_{j_1j_2...j_i...j_k...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_i...j_k...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{kj_i}...a_{ij_k}...a_{nj_n}\\ &=-\sum_{j_1j_2...j_k...j_i...j_n}(-1)(-1)^{τ(j_1j_2...j_k...j_i...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{ij_k}...a_{kj_i}...a_{nj_n}(定理1+乘法交换律)\\ &=\sum_{j_1j_2...j_k...j_i...j_n}(-1)^{τ(j_1j_2...j_k...j_i...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{ij_k}...a_{kj_i}...a_{nj_n}\\ &=左边 \end{aligned} \]

tips：对换排列\(j_1j_2...j_i...j_k...j_n\)的\((j_i,j_k)\)，改变排列奇偶性.

2行成比例

性质5 两行相同，行列式值为0. 即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=0(第i、k行相同) \]

证明：由性质4知，交换第i、k行，符号改变：

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

因此行列式值为0.

性质6 两行成比例，行列式值为0. 即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ la_{i1}&la_{i2}&...&la_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=0(第k行是第i行的l倍) \]

证明：由性质2，行列式一行公因式可提取出来，

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ la_{i1}&la_{i2}&...&la_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

又由性质5，行列式值为0.

行变换

性质7 把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变. 即

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}+la_{i1}&a_{k2}+la_{i2}&...&a_{kn}+la_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \]

证明：由性质3，可以将行列式第k行拆分：

\[\begin{aligned} 左边&=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}+la_{i1}&a_{k2}+la_{i2}&...&a_{kn}+la_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ la{i1}&la_{i2}&...&la_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned}=右边 \]

行列式按一行（列）展开

3阶->2阶：

\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} =a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33} \end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32} \end{vmatrix} \]

定义1 n阶行列式|A|中，划去第i行和第j列，剩余的元素按原来次序组成的n-1阶行列式称为矩阵A的(i,j)元的余子式，记作\(M_{ij}\). 令\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，称\(A_{ij}\)是A的(i,j)元的代数余子式.

tips：代数余子式的符号取决于行列标之和（i+j）的奇偶性.

用代数余子式表示3阶行列式：

\[|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \]

定理1 n阶行列式|A|等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即

\[|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} \]

其中，i∈{1,2,...,n}. 上式也称为n阶行列式按第i行的展开式.

证明：将|A|的完全展开式的n!项按第i行的n个元素分组：

\[\begin{aligned} |A|&=\sum_{k_1k_2...k_{i-1}jk_{i+1}...k_n}(-1)^{τ(k_1k_2...k_{i-1}jk_{i+1}...k_n)}a_{1k_1}a_{2k_2}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{ij}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{nk_n}\space (j=k_i) \quad(1)\\ &=\sum_{jk_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}(-1)^{τ(i12...(i-1)(i+1)...n)+τ(jk_1k_2...k_{i-1}k_{i+1}...k_n)}a_{ij}a_{1k_1}a_{2k_2}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{nk_n} \quad(2)\\ &=\sum_{jk_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}(-1)^{(i-1)+(j-1)+τ(k_1k_2...k_{i-1}k_{i+1}...k_n)}a_{ij}a_{1k_1}a_{2k_2}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{nk_n} \quad(3)\\ &=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\sum_{k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}a_{1k_1}a_{2k_2}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{nk_n} \quad(4)\\ &=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} \quad(5)\\ &=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}A_{ij} \quad(6) \end{aligned} \]

为什么第2->3步能提取出\((-1)^{j-1}\)？

排列\(k_1k_2...k_{i-1}jk_{i+1}...k_n\)逆序数：\(τ(k_1k_2...k_{i-1}jk_{i+1}...k_n)\)

排列\(jk_1k_2...k_{i-1}k_{i+1}...k_n\)逆序数：\((j-1)+τ(k_1k_2...k_{i-1}k_{i+1}...k_n)\)
∵正整数j排在序列第一个位置，\(j,k_1,k_2,...,k_n\)是数1~n的一个排列
∴j后必然有j-1个元素小于j的元素

余子式\(M_{ij}\)刚好就是行列式|A|去掉第i行、第j列后所得行列式，即：

\[\sum_{k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}a_{1k_1}a_{2k_2}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{nk_n} \]

定理2 n阶行列式|A|等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即

\[\begin{aligned} |A|&=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ &=\sum_{l=1}^na_{lj}A_{lj} \end{aligned} \]

证明：\(|A|\)按第j列展开，即\(|A'|\)（A'是A的转置）按第j行展开

有，

\[A_{jl}'= A_{lj} \]

由定理2，

\[|A|=|A'|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} \]

即得证.

定理3 n阶行列式|A|的第i行元素与第k行(k≠i)相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即

\[a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=0, k\neq i \]

证明：可让式子左边成为某个矩阵的第k行元素与其代数余子式乘积之和，从而转化成行列式值.

构造矩阵B，第k行元素（下面加粗）等于A的第i行元素，其余元素与A相同：

\[|B|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ \bm{a_{i1}} & \bm{a_{i2}} & ... & \bm{a_{in}}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \]

∵|B|两行相同
∴|B|=0（行列式性质5）

将|B|按第k行展开：

\[|B|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=0 \]

定理4 n阶行列式|A|的第j列元素与第l列(l≠j)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即

\[a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=0, l\neq j \]

将|A|的转置矩阵|A'|按定理3求和即可得证.

定理1、3可写成：

\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, & k=i\\ 0, & k\neq i \end{cases} \]

定理4、6可写成：

\[\sum_{i=1}^na_{ij}A_{il}=\begin{cases} |A|, & l=j\\ 0, & l\neq j \end{cases} \]