解析几何笔记：空间的正交变换和仿射变换

目录

• 空间的正交变换
  • 平移
  • 旋转
  • 镜面反射
  • 空间的正交变换的性质
• 空间的仿射变换
  • 空间的仿射变换的性质
• 参考

空间的正交变换

定义 空间的一个点变换σ，如果它在一个直角坐标系的公式：

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]

其中，系数矩阵\(A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\)是正交矩阵，称σ为空间的正交（点）变换.

tips: 可以看到，正交变换的定义与直角标架\([O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\)的选取无关.

平移

空间中向量\(\bm{v}(a_1,a_2,a_3)\)确定的平移（变换），是空间的正交变换，在直角坐标系中公式为：

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]

旋转

• 绕一条直线旋转

空间中所有点绕一条给定直线l的旋转（变换），是空间的正交变换.

数学描述：以l为z轴建立直角标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\). 设旋转角度θ，基向量\(\bm{e_i}\)绕l旋转θ角后变成\(\bm{e_i'},i=1,2,3\)，其中\(\bm{e_3}'=\bm{e_3}\).

∵\(\bm{e_1}',\bm{e_2}',\bm{e_3}'\)依然相互垂直
∴\(Ⅱ[O;\bm{e_1',e_2',e_3'}]\)是直角标架

直角标架Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵：

\[A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

设\(P(x,y,z)_Ⅰ\)是空间中任意一点，则P在旋转变换下的象为\(P'(x',y',z')_Ⅰ\)，有

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \]

而

\[AA^T=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =E \]

因此A是正交矩阵，所以绕固定直线的旋转是正交变换，该直线也称为转轴.

镜面反射

空间对于一个平面的反射，称为镜面反射，是把每一点变到它对于这个平面的对称点，是空间的正交变换.

数学描述：取平面π建立直角坐标系xOy，那么空间中任一点\(P(x,y,z)\)对于π的对称点\(P'(x',y',z')\)：

\[\begin{cases} x'=x\\ y'=y\\ z'=-z \end{cases} \]

那么，系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\)
显然A是正交矩阵，因此镜面反射是空间的正交变换.

tips: 是否为仿射变换与直角坐标系的选取无关，但合适的坐标系选取能简化过程.

空间的正交变换的性质

空间的正交变换是平面的扩展，性质如下：

1）保持点之间距离不变；
2）两个正交变换的乘积仍然是正交变换（乘积\(σ_1σ_2\)）；
3）恒等变换是正交变换（恒等变换：集合S的每个元素a对应到自身，即σ(a)=a）；
4）正交变换可逆，且逆变换也是正交变换；
5）将平面变成平面；
6）将平行平面变成平行平面；
7）将相交平面变成相交平面；
8）将直线变成直线；
9）将线段变成线段，且线段分比不变；
10）将平行直线变成平行直线；
11）空间的正交点变换σ引起空间的正交向量变换\(\overline σ: \overline{σ}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{P'Q'}\)，而\(P'=σ(P),Q'=σ(Q)\)，\(\overline{σ}\)保持向量的加法、数乘、内积运算不变，保持向量的长度、夹角不变；
12）空间的正交变换将任一直角标架Ⅰ变换成Ⅱ，且任一点P的Ⅰ坐标等于象P'的Ⅱ坐标；
13）如果2个正交变换对于同一个直角标架的作用相同，则它们相等.

空间的仿射变换

定义 空间的一个点变换τ，如果它在一个仿射坐标系中的公式为

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]

其中系数矩阵A为非奇异矩阵，则称τ为空间的仿射（点）变换.

tips: 同样，此定义与仿射标架的选取无关.

空间的仿射变换的性质

空间的仿射变换是平面的仿射变换的扩展，性质如下：

1）两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换（乘积\(τ_1τ_2\)）；
2）恒等变换是仿射变换；
3）仿射变换可逆，且逆变换也是仿射变换；
4）将平面变成平面；
5）将平行平面变成平行平面；
6）将相交平面变成相交平面；
7）将直线变成直线；
8）保持共线三点的简单比值不变（A、B、C共线三点，简单比值\((A,C,B):=\frac{AB}{BC}\)，可理解为线段分比）；
9）将线段变成线段；
10）将平行直线变成平行直线；
11）仿射点变换\(τ\)引起向量变换\(\overline{τ}\)，后者保持向量加法、数乘；
12）将任意一仿射标架Ⅰ变成Ⅱ，且任一点P的Ⅰ坐标=象P'的Ⅱ坐标；
13）2个仿射变换在同一仿射标架上的作用相同，则它们相等.

定理 空间中任给两组不共线的4个点：\(A_1,A_2,A_3,A_4\)和\(B_1,B_2,B_3,B_4\)，则必然存在唯一的仿射变换将\(A_i\)变成\(B_i,i=1,2,3,4\).

tips: 证法同平面的情形，将\(A_1,B_1\)作为仿射标架Ⅰ和Ⅱ的原点，以\(A_2,A_3,A_4\)和\(B_2,B_3,B_4\)为基向量终点，建立仿射标架Ⅰ和Ⅱ. 求出仿射变换，将Ⅰ上的点P变换到Ⅱ，从而求出仿射变换公式τ；最后证明公式的唯一性.

具体证明过程可参见：解析几何笔记：平面的仿射变换

定理 设空间的仿射变换τ在仿射标架Ⅰ的公式：

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]

空间中3向量\(\forall \bm{a,b,c}\)不共面，它们在向量变换\(\overline{τ}\)下的象分别为\(\bm{a',b',c'}\)，则有：

\[\frac{\bm{a'}\times\bm{b'}\cdot \bm{c'}}{\bm{a}\times\bm{b}\cdot \bm{c}}=|A| \]

tips: 混合积代表平行六面体的体积，是不是很像平面的反射变换的变积系数特性：变换前后图形的面积比为定值|A|？

证明：设仿射标架Ⅰ\([O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\)，Ⅱ\([O';\bm{e_1',e_2',e_3'}]\)，仿射变换τ将Ⅰ变成Ⅱ.

那么， 空间中，\(\bm{e_1}=(1,0,0),\bm{e_2}=(0,1,0),\bm{e_3}=(0,0,1)\).
有，

\[\begin{cases} \bm{e_1'}=A\bm{e_1}=(a_{11} & a_{21} & a_{31})\\ \bm{e_2'}=A\bm{e_2}=(a_{12} & a_{22} & a_{32})\\ \bm{e_3'}=A\bm{e_3}=(a_{13} & a_{23} & a_{33})\\ \end{cases} \]

由向量的混合积坐标计算公式（见解析几何笔记：向量的外积的计算向量的混合积部分），知，

\[\bm{e_1'}\times\bm{e_2'}\cdot \bm{e_3'}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\bm{e_1}\times\bm{e_2}\cdot \bm{e_3} =|A|\bm{e_1}\times\bm{e_2}\cdot \bm{e_3} \]

设向量\(\bm{a,b,c}\)的Ⅰ坐标分别为\(\bm{a}=(x_1,y_1,z_1),\bm{b}=(x_2,y_2,z_2),\bm{c}=(x_3,y_3,z_3)\)
则有，

\[\bm{a}\times\bm{b}\cdot \bm{c}=\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3\\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix}\bm{e_1}\times\bm{e_2}\cdot \bm{e_3} \]

由仿射变换的性质知，\(\bm{a',b',c'}\)的Ⅱ坐标与\(\bm{a,b,c}\)的Ⅰ坐标相同.
我们用Ⅱ的基来表示\(\bm{a',b',c'}\)的混合积：

\[\bm{a'}\times\bm{b'}\cdot \bm{c'}=\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3\\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix}\bm{e_1'}\times\bm{e_2'}\cdot \bm{e_3'} \]

于是，

\[\frac{\bm{a'}\times\bm{b'}\cdot \bm{c'}}{\bm{a}\times\bm{b}\cdot \bm{c}}=|A| \]

参考

[1]丘维声.解析几何[M].北京大学出版社,2017.