解析几何笔记:空间的正交变换和仿射变换
空间的正交变换
定义 空间的一个点变换σ,如果它在一个直角坐标系的公式:
\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]
其中,系数矩阵\(A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\)是正交矩阵,称σ为空间的正交(点)变换.
tips: 可以看到,正交变换的定义与直角标架\([O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\)的选取无关.
平移
空间中向量\(\bm{v}(a_1,a_2,a_3)\)确定的平移(变换),是空间的正交变换,在直角坐标系中公式为:
旋转
- 绕一条直线旋转
空间中所有点绕一条给定直线l的旋转(变换),是空间的正交变换.
数学描述:以l为z轴建立直角标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\). 设旋转角度θ,基向量\(\bm{e_i}\)绕l旋转θ角后变成\(\bm{e_i'},i=1,2,3\),其中\(\bm{e_3}'=\bm{e_3}\).
∵\(\bm{e_1}',\bm{e_2}',\bm{e_3}'\)依然相互垂直
∴\(Ⅱ[O;\bm{e_1',e_2',e_3'}]\)是直角标架
直角标架Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵:
设\(P(x,y,z)_Ⅰ\)是空间中任意一点,则P在旋转变换下的象为\(P'(x',y',z')_Ⅰ\),有
而
因此A是正交矩阵,所以绕固定直线的旋转是正交变换,该直线也称为转轴.
镜面反射
空间对于一个平面的反射,称为镜面反射,是把每一点变到它对于这个平面的对称点,是空间的正交变换.
数学描述:取平面π建立直角坐标系xOy,那么空间中任一点\(P(x,y,z)\)对于π的对称点\(P'(x',y',z')\):
那么,系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\)
显然A是正交矩阵,因此镜面反射是空间的正交变换.
tips: 是否为仿射变换与直角坐标系的选取无关,但合适的坐标系选取能简化过程.
空间的正交变换的性质
空间的正交变换是平面的扩展,性质如下:
1)保持点之间距离不变;
2)两个正交变换的乘积仍然是正交变换(乘积\(σ_1σ_2\));
3)恒等变换是正交变换(恒等变换:集合S的每个元素a对应到自身,即σ(a)=a);
4)正交变换可逆,且逆变换也是正交变换;
5)将平面变成平面;
6)将平行平面变成平行平面;
7)将相交平面变成相交平面;
8)将直线变成直线;
9)将线段变成线段,且线段分比不变;
10)将平行直线变成平行直线;
11)空间的正交点变换σ引起空间的正交向量变换\(\overline σ: \overline{σ}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{P'Q'}\),而\(P'=σ(P),Q'=σ(Q)\),\(\overline{σ}\)保持向量的加法、数乘、内积运算不变,保持向量的长度、夹角不变;
12)空间的正交变换将任一直角标架Ⅰ变换成Ⅱ,且任一点P的Ⅰ坐标等于象P'的Ⅱ坐标;
13)如果2个正交变换对于同一个直角标架的作用相同,则它们相等.
空间的仿射变换
定义 空间的一个点变换τ,如果它在一个仿射坐标系中的公式为
\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]
其中系数矩阵A为非奇异矩阵,则称τ为空间的仿射(点)变换.
tips: 同样,此定义与仿射标架的选取无关.
空间的仿射变换的性质
空间的仿射变换是平面的仿射变换的扩展,性质如下:
1)两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换(乘积\(τ_1τ_2\));
2)恒等变换是仿射变换;
3)仿射变换可逆,且逆变换也是仿射变换;
4)将平面变成平面;
5)将平行平面变成平行平面;
6)将相交平面变成相交平面;
7)将直线变成直线;
8)保持共线三点的简单比值不变(A、B、C共线三点,简单比值\((A,C,B):=\frac{AB}{BC}\),可理解为线段分比);
9)将线段变成线段;
10)将平行直线变成平行直线;
11)仿射点变换\(τ\)引起向量变换\(\overline{τ}\),后者保持向量加法、数乘;
12)将任意一仿射标架Ⅰ变成Ⅱ,且任一点P的Ⅰ坐标=象P'的Ⅱ坐标;
13)2个仿射变换在同一仿射标架上的作用相同,则它们相等.
定理 空间中任给两组不共线的4个点:\(A_1,A_2,A_3,A_4\)和\(B_1,B_2,B_3,B_4\),则必然存在唯一的仿射变换将\(A_i\)变成\(B_i,i=1,2,3,4\).
tips: 证法同平面的情形,将\(A_1,B_1\)作为仿射标架Ⅰ和Ⅱ的原点,以\(A_2,A_3,A_4\)和\(B_2,B_3,B_4\)为基向量终点,建立仿射标架Ⅰ和Ⅱ. 求出仿射变换,将Ⅰ上的点P变换到Ⅱ,从而求出仿射变换公式τ;最后证明公式的唯一性.
具体证明过程可参见:解析几何笔记:平面的仿射变换
定理 设空间的仿射变换τ在仿射标架Ⅰ的公式:
\[\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \]
;空间中3向量\(\forall \bm{a,b,c}\)不共面,它们在向量变换\(\overline{τ}\)下的象分别为\(\bm{a',b',c'}\),则有:
\[\frac{\bm{a'}\times\bm{b'}\cdot \bm{c'}}{\bm{a}\times\bm{b}\cdot \bm{c}}=|A| \]
tips: 混合积代表平行六面体的体积,是不是很像平面的反射变换的变积系数特性:变换前后图形的面积比为定值|A|?
证明:设仿射标架Ⅰ\([O;\bm{e_1,e_2,e_3}]\),Ⅱ\([O';\bm{e_1',e_2',e_3'}]\),仿射变换τ将Ⅰ变成Ⅱ.
那么, 空间中,\(\bm{e_1}=(1,0,0),\bm{e_2}=(0,1,0),\bm{e_3}=(0,0,1)\).
有,
由向量的混合积坐标计算公式(见解析几何笔记:向量的外积的计算向量的混合积部分),知,
设向量\(\bm{a,b,c}\)的Ⅰ坐标分别为\(\bm{a}=(x_1,y_1,z_1),\bm{b}=(x_2,y_2,z_2),\bm{c}=(x_3,y_3,z_3)\)
则有,
由仿射变换的性质知,\(\bm{a',b',c'}\)的Ⅱ坐标与\(\bm{a,b,c}\)的Ⅰ坐标相同.
我们用Ⅱ的基来表示\(\bm{a',b',c'}\)的混合积:
于是,
参考
[1]丘维声.解析几何[M].北京大学出版社,2017.