映射
映射与变换定义
定义 集合S到集合S'的一个映射σ是指这样一个法则：它使得S中每个元素a都有S'中一个确定的元素a'与之对应. a'称a在映射σ下的象，记作σ(a)；a称为a'在σ下的原象. 此映射σ记作：
\[\sigma: S\to S', a\to a'
\]
或者：\(a'=\sigma(a), a\in S\).
tips: 这与函数的映射的定义是一致的.
集合S到自身的映射，称为S的一个变换.
如果对于任意\(a \in S\)，都有\(\sigma(a)=\tau(a)\)，则集合S到S'的两个映射σ和τ称为相等.
集合S的一个变换σ如果把S的每个元素a对应到它自身，即\(\sigma(a)=a,\forall a\in S\)，则称σ是S的恒等变换或单位变换，记作\(\epsilon_S\).
平移变换
设S是平面上所有点组成的集合. 取一个直角坐标系\([O;\bm{e_1,e_2}]\)，给定一个向量\(\bm{v}(a,b)\). σ是S的一个变换：使得平面上每个点P(x,y)对应到点P'(x',y')，其中
\[\begin{cases}
x'=x+a\\
y'=y+a
\end{cases}
\]
写成列向量形式：
\[\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}
\]
\(\overrightarrow{PP'}=(x'-x,y'-y)=(a,b)=\bm{v}\)
σ称为平移变换，它将S上每个点沿着\(\bm{v}\)方向移动了\(|\bm{v}|\)距离.
旋转变换
设S是平面上所有点组成的集合. 取一个直角坐标系\([O;\bm{e_1,e_2}]\). τ是S的一个变换：使得平面上每个点P(x,y)对应到点P'(x',y')，其中
\[\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]
其中θ是一个确定的实数.
将系数矩阵记作T，T是正交矩阵，有
\[T=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\]
tips：如果\(AA^T=E\)，则称矩阵A为正交矩阵.
\[\begin{aligned}
|\overrightarrow{OP'}|^2&=x'^2+y'^2=(x',y')\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=(x,y)T^T\cdot T\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&=(x,y)E\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=(x,y)\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=x^2+y^2\\
&=|\overrightarrow{OP}|^2
\end{aligned}
\]
tips：\((AB)^T=B^TA^T\)
向量\(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OP'}\)夹角：
\[\begin{aligned}
\cos<\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OP'}>&=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP'}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OP}|}\\
&=\frac{xx'+yy'}{|\overrightarrow{OP}|^2}\\
&=\frac{x(x\cos\theta-y\sin\theta)+y(x\sin\theta+y\cos\theta)}{x^2+y^2}\\
&=\cos\theta
\end{aligned}
\]
这说明变换τ使得平面上每个点P绕O点（原点）旋转θ角.
我们规定：平面直角坐标系下，绕O点逆时针旋转方向为正方向，顺时针为负方向.
映射的乘法
定义 设σ：S->S'；τ：S'->S''. 相继实施映射σ和τ，得到一个S到S''的映射，称为τ乘以σ的乘积，记作τσ. 即
\[(τσ)(a)=τ(σ(a)),\forall a\in S
\]
映射的乘法与次序有关，不适合交换律，如τσ有意义，但στ可能无意义.
tips：复合变换是一种特殊的映射的乘法.
设σ是平面上绕原点的旋转，旋转角θ；设τ是由\(\bm{v}=(a,b)\)决定的平移，求στ和τσ.
解：直角坐标系下，
\[\begin{aligned}
\sigma &:\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
\tau &:\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
στ映射次序：\(P(x,y)\xrightarrow{σ}P''(x'',y'')\xrightarrow{τ}P'(x',y')\)，则有：
\[\begin{aligned}
στ:\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x''\\y''
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
写成坐标变换形式：
\[στ:\begin{cases}
x'=(x+a)\cos\theta-(y+b)\sin\theta\\
y'=(x+a)\sin\theta+(y+b)\cos\theta
\end{cases}
\]
τσ映射次序：\(Q(x,y)\xrightarrow{τ}Q''(x'',y'')\xrightarrow{σ}Q'(x',y')\)，则有：
\[\begin{aligned}
τσ:\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
x''\\y''
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
写成坐标变换形式：
\[τσ:\begin{cases}
x'=x\cos\theta-y\sin\theta+a\\
y'=x\sin\theta-y\cos\theta+b
\end{cases}
\]
比较στ和τσ坐标变换形式，知στ≠τσ.
定理 映射的乘法适用于结合律，即设
\[\sigma: S\rightarrow S'; \tau: S'\rightarrow S''; \psi: S''\rightarrow S'''
\]
则\(\psi(\tau\sigma)=(\psi\tau)\sigma\)
证明：等式两边都是S到S'''的映射.\(\forall a\in S\)，有
\[\begin{aligned}
&[\psi(\tau\sigma)](a)=\psi[(\tau\sigma)(a)]=\psi[\tau(\sigma(a))]\\
&[(\psi\tau)\sigma](a)=(\psi\tau)(\sigma(a))=\psi[\tau(\sigma(a))]\\
&\therefore
[\psi(\tau\sigma)](a)=[(\psi\tau)\sigma](a)\\
&\therefore
\psi(\tau\sigma)=(\psi\tau)\sigma
\end{aligned}
\]
tips：\(σ(a)\)是指对元素a应用σ映射.
平面的正交变换
定义 平面的一个点变换σ，如果它在一个直角坐标系中的公式为
\[\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix}
\]
其中系数矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
是正交矩阵，则称σ是平面的正交（点）变换.
tips：正交变换与直角坐标系的选取无关，换坐标系后亦为正交变换.
tips：平移、旋转、反射都是正交变换；放缩不是正交变换.
正交变换的性质
点与向量的正交变换
定理 正交变换保持点之间的距离不变.
证明：设σ为正交变换. 平面上任取2点\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\)，经σ变换后的象是\(P_1'(x_1',y_1'),P_2'(x_2',y_2')\)，有
\[\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
x_i'\\y_i'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
x_i\\y_i
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix},i=1,2\\
&\therefore \overrightarrow{P_1'P_2'}=\begin{pmatrix}
x_2'-x_1'\\y_2'-y_1'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\y_2-y_1
\end{pmatrix}
=A\cdot \overrightarrow{P_1P_2}
\end{aligned}
\]
因此
\[\begin{aligned}
|P_2'P_1'|^2&=(x_2'-x_1')^2+(y_2'-y_1')^2\\
&=(x_2'-x_1',y_2'-y_1')\begin{pmatrix}
x_2'-x_1'\\y_2'-y_1'
\end{pmatrix}\\
&=(x_2-x_1,y_2-y_1)A^TA\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\y_2-y_1
\end{pmatrix}\\
&=(x_2-x_1,y_2-y_1)\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\y_2-y_1
\end{pmatrix}\\
&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=|P_2P_1|^2
\end{aligned}
\]
∴\(|P_2'P_1'|=|P_2P_1|\)，即变换前后点距离不变.
思考：计算\(|P_2'P_1'|^2\)时，为什么要将其转换为矩阵形式，而不是直接让\(|P_2'P_1'|^2=A^2|P_1P_2|^2\)？
答：因为A虽然是确定的（取决于σ），但并不知道具体是多少，因此无法计算\(A^2\)值. 而A是正交矩阵，有\(AA^T=E\)，最好能利用矩阵相乘等矩阵运算消掉A.
正交变换重要性质:
1. 正交变换把直线变成直线.
证明：设σ是正交变换：
\[\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix}
\]
令
\[\bm{a'}=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix},
\bm{a}=\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix},
\bm{a_0}=\begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix}
\]
则σ可写成：
\[\bm{a'}=A\bm{a}+\bm{a_0}
\]
任取平面上一条直线\(l:ax+by+c=0\). 令\(\bm{β'}=(a,b)\)，则l方程可写为：
\[\bm{β'}\bm{a}+c=0
\]
而由σ变换知，\(\bm{a}=A^{-1}(\bm{a'}-\bm{a_0})\)
∴l变换后的方程l':
\[\begin{aligned}
\bm{β'}A^{-1}(\bm{a'}-\bm{a_0})+c&=0\\
\Leftrightarrow\bm{β'}A^{-1}\bm{a'}+c-\bm{β'}A^{-1}\bm{a_0}&=0
\end{aligned}
\]
是不是很像直线l变换前的方程？
但还需要讨论系数\(\bm{β'}A^{-1}\)是否为0. 假设\(\bm{β'}A^{-1}=0\)
∵\(A,A^{-1}≠0\)
∴\(\bm{β'}=0\)
∴\(a=b=0\) 但此时，l方程与x、y无关，不表示平面. 显然不符题意
因此假设不成立，有\(\bm{β'}A^{-1}\neq 0\)
直线正交变换后，还是一条直线.
2. 正交变换把线段变成线段，并且保持线段的分比不变.
证明：数学描述：设正交变换σ将点P、Q映射到P'、Q'，则直线PQ上任一点M的象M'在直线P'Q'上.
由上面的正交变换定理知，正交变换保持点之间距离不变，即\(|P'Q'|=|PQ|,|P'M'|=|PM|,|M'Q'|=|MQ|\)
当M是线段PQ内分点时，M'在线段P'Q'上. 有：
\[\frac{|PM|}{|MQ|}=\lambda
\]
M在P'Q'上的象M'，是P'Q'内分点，且有：
\[\frac{|P'M'|}{|M'Q'|}=\frac{|PM|}{|MQ|}=\lambda
\]
∴M'保持线段的分比与M相同.
当M是线段PQ外分点时，同理可证M'保持线段的分比与M相同.
综上，故得证.
3. 正交变换把平行直线变成平行直线.
证明：设\(l_1\parallel l_2\).
经过正交变换σ，\(l_1\rightarrow l_1', l_2\rightarrow l_2'\).
假设变换后，\(l_1',l_2'\)相交于M'，则M'的原象必定既存在于\(l_1\)又存在于\(l_2\)上，因此\(l_1,l_2\)相交，这与两直线平行的条件矛盾.
因此假设不成立.
4. 平面的一个正交点变换σ引起了平面的一个向量变换\(\overline{σ}\)（平面上所有向量组成的集合\(\overline{S}\)的变换）.
什么意思？
正交点变换是点到点的变换，所有点组成的集合S到S的变换；
向量变换是向量到向量的变换，所有向量组成的集合\(\overline{S}\)到\(\overline{S}\)的变换.
证明：
平面上任取一直角坐标系，设σ是正交点变换：\(P(x_1,y_1)\rightarrow P'(x_1',y_1'), Q(x_2,y_2)\rightarrow Q'(y_1',y_2')\).
设有向线段\(\overrightarrow{PQ}\)表示为\(\bm{m}(u,v)\)，那么\(u=x_2-x_1,v=y_2-y_1\).
则有
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
x_i'\\y_i'
\end{pmatrix}
&=A\begin{pmatrix}
x_i\\y_i
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix},i=1,2.\\
\begin{pmatrix}
x_2'-x_1'\\y_2'-y_1'
\end{pmatrix}
&=A\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\y_2-y_1
\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}
u\\v
\end{pmatrix}\\
\overrightarrow{P'Q'}&=A\cdot \overrightarrow{PQ}
\end{aligned}
\]
该式就是向量形式的变换.
知\(\overrightarrow{P'Q'}=(x_2'-x_1',y_2'-y_1')\)与x向量起点无关，只与\(σ、m\)有关.
可规定集合\(\overline{S}\)上的变换\(\overline{σ}\)，将\(\bm{m}\)对应到\(\overrightarrow{P'Q'}\)：
\[\overline{σ}(\bm{m})=\overline{σ}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{P'Q'}
\]
设\((u',v')=\overline{σ}(\bm{m})\)，则
\[\overline{σ}:
\begin{pmatrix}
u'\\v'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
u\\v
\end{pmatrix}
\]
故正交点变换σ引起了正交向量变换\(\overline{σ}\).
5. 正交向量变换的运算性质.
1）保持向量的加法：\(\overline{σ}(\bm{m_1}+\bm{m_2})=\overline{σ}(\bm{m_1})+\overline{σ}(\bm{m_2})\)
2）保持向量的数乘：\(\overline{σ}(\lambda \bm{m})=\lambda \overline{σ}(\bm{m})\)
3）保持向量的内积不变：\(\overline{σ}(\bm{m_1})\cdot \overline{σ}(\bm{m_2})=\bm{m_1}\cdot \bm{m_2}\)
4）保持向量的长度不变：\(|\overline{σ}(\bm{m})|=|\bm{m}|\)
5）保持向量的夹角不变：\(<\overline{σ}(\bm{m_1}),\overline{σ}(\bm{m_2})>=<\bm{m_1},\bm{m_2}>\)
证明：
设正交向量变换
\[\overline{σ}:\begin{pmatrix}
u'\\v'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
u\\v
\end{pmatrix}
\]
\(\bm{m_1}(u_1,v_1),\bm{m_2}(u_2,v_2)\)正交向量变换对应坐标\(\overline{σ}(\bm{m_1})=(u_1',v_1'),\overline{σ}(\bm{m_2})=(u_2',v_2')\)
对于1），
\[\begin{aligned}
\overline{σ}(\bm{m_1}+\bm{m_2})
&=A\begin{pmatrix}
u_1+u_2\\v_1+v_2
\end{pmatrix}\\
&=A\begin{pmatrix}
u_1\\v_1
\end{pmatrix}
+A\begin{pmatrix}
u_2\\v_2
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
u_1'\\v_1'
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
u_2'\\v_2'
\end{pmatrix}\\
&=\overline{σ}(\bm{m_1})+\overline{σ}(\bm{m_2})
\end{aligned}
\]
对于2），
\[\overline{σ}(\lambda \bm{m})
=A\begin{pmatrix}
\lambda u\\ \lambda v
\end{pmatrix}
=\lambda A\begin{pmatrix}
u\\ v
\end{pmatrix}
=\lambda \overline{σ}(\bm{m})
\]
对于3），
\[\begin{aligned}
\overline{σ}(\bm{m_1})\cdot \overline{σ}(\bm{m_2})
&=(u_1',v_1')\cdot (u_2',v_2')=u_1'u_2'+v_1'v_2'\\
&=(u_1',v_1')\begin{pmatrix}u_2'\\v_2'
\end{pmatrix}
=[(u_1,v_1)A^{T}] [A \begin{pmatrix}u_2'\\v_2'\end{pmatrix}]
\\
&=(u_1,v_1)A^{T}A \begin{pmatrix}u_2'\\v_2'\end{pmatrix}\\
&=(u_1,v_1)\begin{pmatrix}u_2'\\v_2'\end{pmatrix}\\
&=\bm{m_1}\cdot \bm{m_2}
\end{aligned}
\]
这里非常巧妙地将向量点积转化为矩阵运算，然后用A的正交矩阵特性消掉A. 如果先做正交向量变换，就会陷入无法消掉A的境地：
\[\overline{σ}(\bm{m_1})\cdot \overline{σ}(\bm{m_2})=A\begin{pmatrix}
u_1\\ v_1
\end{pmatrix}
\cdot A\begin{pmatrix}
u_2\\ v_2
\end{pmatrix}
\]
对于4），由正交变换不改变两点距离的定理知，变换前后向量起始、终点距离不变，即向量长度不变.
对于5），结合3）、4），知该点成立.
直角标架的正交变换
定理 正交变换σ把直角标架Ⅰ变成直角标架Ⅱ，且任一点P的Ⅰ坐标等于它的象P'的Ⅱ坐标.
证明：记直角标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}],Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\).
σ将Ⅰ的原点O变换成O'，Ⅰ的基向量\(\bm{e_i}\)变换成\(\bm{e_i'},i=1,2\).
∵正交变换不改变向量长度、夹角
∴\(\bm{e_1',e_2'}\)仍为单位向量，且相互垂直
∴\(Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\)仍为直角标架
设P的Ⅰ坐标(x,y)，在σ变换下的象为P'，则
\[\overrightarrow{O'P'}=\overline{σ}(\overrightarrow{OP})=\overline{σ}(x\bm{e_1}+y\bm{e_2})=x\overline{σ}(\bm{e_1})+y\overline{σ}(\bm{e_2})
=x\bm{e_1'}+y\bm{e_2'}
\]
∴P'的Ⅱ坐标(x,y)
定理 平面的正交变换是平移，或者绕平面上一点的旋转，或者对于平面上一条直线的反射，或者是它们之间的乘积.
证明：取定直角标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}]\)，设σ是平面的一个正交变换，将Ⅰ变换为\(Ⅱ[O;\bm{e_1',e_2'}]\).
作\(\overrightarrow{OO'}\)决定的平移\(τ_1\)将O变换到O'，只改变原点位置,\(τ_1: [O;\bm{e_1,e_2}]\rightarrow [O';\bm{e_1,e_2}]\)；
再作绕点O'的旋转\(τ_2\)，将\(\bm{e_1}\)变换成\(\bm{e_1'}\)，只改变基向量的方向，\(τ_2: [O';\bm{e_1,e_2}]\rightarrow[O';\bm{e_1',e_2^*}]\)
∵正交变换不改变向量角度且\(\bm{e_1}⊥\bm{e_2}\)
∴\(\bm{e_1'}⊥\bm{e_2^*}\)
而\(\bm{e_2'}⊥\bm{e_1'}\)
∴\(\bm{e_2'}⊥\bm{e_2^*}\)
如果\(\bm{e_2^*}=\bm{e_2'}\)，则\(τ_1τ_2\)将Ⅰ变换成Ⅱ，即\(σ=τ_1τ_2\)；
如果\(\bm{e_2^*}=-\bm{e_2'}\)，则还需要作对于直线l（过点O'，方向为\(\bm{e_1'}\)的反射\(τ_3: [O';\bm{e_1',-e_2'}]\rightarrow [O';\bm{e_1',e_2'}]\)，即\(σ=τ_3τ_2τ_1\).
tips: 平移、旋转及其乘积，称为刚体运动. 只改变物体位置，不改变大小.
定理 如果正交变换σ把直角标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}]\)变换成直角标架\(Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\)，则σ在Ⅰ中公式为：
\[\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
x_0\\y_0
\end{pmatrix}
\]
其中，系数矩阵A刚好是Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵，\((x_0,y_0)\)是Ⅱ的原点O'在Ⅰ中坐标.
证明：设σ将点P变换成P'，P、P'的Ⅰ坐标分别为\((x,y)、(x',y')\).
由直角标架的正交变换不改变点的坐标定理知，P'的Ⅱ坐标为(x,y)（与P的Ⅰ坐标相同）.
设Ⅱ的原点O'的Ⅰ坐标\((x_0,y_0)\)
有
\[\begin{aligned}
\overrightarrow{OP'}&=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P'}\\
&=(x_0\bm{e_0}+y_0\bm{e_1})+(x\bm{e_1'}+y\bm{e_2'})
\end{aligned}
\]
而过渡矩阵A的含义是，将直角标架Ⅰ的一组基\(\bm{e_1,e_2}\)，线性转换成Ⅱ的一组基\(\bm{e_1',e_2'}\)，即
\[\begin{pmatrix}
e_1'\\e_2'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
e_1\\e_2
\end{pmatrix}
\]
写成方程组形式：
\[\begin{cases}
\bm{e_1'}=A\bm{e_1}\\
\bm{e_2'}=A\bm{e_2}
\end{cases}
\]
因此，
\[\begin{aligned}
\overrightarrow{OP'}&=(x_0\bm{e_0}+y_0\bm{e_1})+(x\bm{e_1'}+y\bm{e_2'})\\
&=(x_0\bm{e_0}+y_0\bm{e_1})+(xA\bm{e_1}+yA\bm{e_2})\\
&=A(x\bm{e_1}+y\bm{e_2})+(x_0\bm{e_0}+y_0\bm{e_1})\\
&=A\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
即\(σ: \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
x_0\\y_0
\end{pmatrix}\)
参考
丘维声.解析几何[M].北京大学出版社,2017.
高等代数—3.6 基变换与过渡矩阵
