计算机图形：特殊几何变换

目录

• 特殊二维变换
  • 反射
  • 错切
  • 小结
• 特殊三维变换
  • 三维反射
  • 三维错切

平移、旋转、缩放这些属于基本变换，还有一些特殊二维变换如反射、错切。本文讲特殊二维变换。

特殊二维变换

反射

产生对象镜像的变换，称为反射（reflection）。

反射镜像如何得到？
通过将对象绕反射轴旋转180°。反射轴（axis of reflection）可以是xy平面内一条直线，或垂直于xy平面的一条直线。
当反射轴在xy平面内时，绕该轴旋转的路径在垂直于xy平面的平面中；
当反射轴⊥xy平面时，旋转路径在xy平面内。

特殊情况：

1. 反射轴是x轴，即直线y=0

x值保持不变，y值为原来反号。于是，反射变换矩阵：

\[\tag{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

2. 反射轴是y轴，即直线x=0

y值保持不变，x值为原来反号。于是，反射矩阵：

\[\tag{2} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

3. 同时翻转x、y坐标，即相对于原点的反射

反射矩阵：

\[\tag{3} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

相当于θ=180°的旋转矩阵R(θ)，即将xy平面内的对象绕原点旋转180°。

关于y轴、x轴、原点反射示意图：

4. 反射轴为直线y=x

反射矩阵：

\[\tag{4} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

两种方法：
Ⅰ 根据y=x对称性

任一点(x,y)关于y=x对称点为(y,x)，于是

\[y'=x\\ x'=y \]

可得变换矩阵。

Ⅱ 复合变换

分三步：
①将直线y=x顺时针旋转45°（θ=45°），到x轴上，变换矩阵R(-θ)；
②按x轴反射，变换矩阵\(R_{y=0}\)（式(1)）；
③逆时针旋转45°，将直线y=x旋转回原始位置，变换矩阵R(θ)。

复合变换矩阵：

\[\tag{5} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

5. 关于任意直线y=mx+b的反射

可以用平移-旋转-反射的复合变换来完成：
先平移到经过原点，再旋转到x轴，进行x轴反射，最后逆旋转、逆平移回原位置。

错切

错切（shear）是一种使对象形状发生变化的变换，经过错切的对象好像是由已经相互滑动的内部夹层组成。

2种常用错切：
1）移动x坐标值的错切；
2）移动y坐标值的错切。

• 相对于x轴的x方向错切

变换矩阵：

\[\tag{6} \begin{bmatrix} 1 & sh_x & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对应坐标变换：

\[\tag{7} x'=x+sh_x\cdot y, y'=y \]

\(sh_x\)可以是任意实数。

例，\(sh_x=2\)，正方形错切变换成平行四边形，如下图：

• 相对于其他参考线的x方向错切

错切矩阵：

\[\tag{8} \begin{bmatrix} 1 & sh_x & -sh_x\cdot y_{ref}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对应坐标变换：

\[\tag{9} x'=x+sh_x(y-y_{ref}), y'=y \]

例，错切参数\(sh_x={1\over 2}\)、相对于直线\(y_{ref}=-1\)的错切：

• 相对于\(x=x_{ref}\)的y方向错切

错切矩阵：

\[\tag{10} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ sh_y & 1 & -sh_y\cdot x_{ref}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对应坐标变换：

\[\tag{11} x'=x, y'=y+sh_y(x-x_{ref}) \]

小结

反射能得到对象关于某个坐标轴，或某个点旋转后的镜像对象。
错切能将正方形变换成梯形，透视投影的斜透视投影棱台中会用到。

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特殊三维变换

三维反射

二维反射相对于给定直线或点；
三维反射可以相对于给定反射轴，或反射平面（reflection plane）。

1. 相对于给定轴时，等价于绕此轴旋转180°；
2. 反射平面是坐标平面（xy、xz或yz）时，可以看成是四维空间中左手系和右手系之间的转换，直接得到坐标值。
3. 如果是相对于一般平面的反射，可以先将平面旋转到坐标平面，然后再相对于坐标轴或坐标反射，最后变换回原来位置。

如，相对于xy平面的反射，z坐标反号，x、y坐标不变。故反射矩阵：

\[\tag{12} M_{zreflect}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

如下图所示，相对于xy平面反射，可通过右手系变换到左手系实现，反射矩阵为式(12)：

三维错切

类似于二维错切，可用来修改对象形状，也可以用于三维透视投影。

相对于选定参考位置的z轴错切变换矩阵：

\[\tag{13} M_{zshear}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & sh_{zx} & -sh_{zx}\cdot z_{ref}\\ 0 & 1 & sh_{zy} & -sh_{zy}\cdot z_{ref}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

错切参数有2个：\(sh_{zx},sh_{zy}\)，可以是任意实数。

变换效果：用离\(z_{ref}\)距离成比例的值改变x、y坐标，而不改变z坐标。
对应坐标变换：

\[\begin{aligned} x'&=x+sh_{zx}(z-z_{ref})\\ y'&=y+sh_{zy}(z-z_{ref})\\ z'&=z \end{aligned} \]