Bresenham画直线算法（所有斜率）
Bresenham算法是图形学非常经典的光栅线生成算法，可用于显示直线、圆以及其他曲线。这里通过算法画直线过程，了解其工作原理。
问题描述
已知线段2端点\((x_0, y_0) (x_e, y_e)\)，屏幕上画出该直线段。
由于屏幕是通过像素点显示的，只能通过像素点所在的整数坐标近似代表直线上点的位置。那么，该用什么点画出直线呢？这就是Bresenham算法要解决的问题。
Bresenham算法
基本思想
根据当前点，决定下一个（像素）点画在哪儿。要么在相邻点，要么在对角点。相邻点是指x坐标+1、y坐标不变，或者x不变、y+1；对角点是指x+1，同时y+1。
要确定2个备选点中的哪一个，可根据它们到直线的距离远近决定：如果相邻点更近，下一点选相邻点；如果对角点更近，下一点就选对角点。
为减少误差，用光栅直线逼近理论直线，Bresenham算法按变化大的轴（x轴或y轴）逐像素绘制线段。
算法推演
假设直线方程：\(y = mx + b\)
因为线段2端点在直线上，所以，\(y_0=mx_0+b, y_e=mx_e+b\)
线段x、y坐标变化：\(∆x=x_e-x_0, ∆y=y_e-y_0\)
斜率m、截距b：
如果现在画到了第k个像素点，位置\((x_k,y_k)\)，那么第k+1个点\((x_{k+1},y_{k+1})\)在哪？
由于斜率影响算法的过程，可以分情况讨论：
特殊斜率：0<m<1
∵0 < m < 1
∴Δx>Δy
∴可按x轴递增绘制像素点，即\(x_{k+1}=x_k+1\)；
∵m > 0且线段连续
∴y递增，\(y_{k+1}\)取值只能是\(y_k\)或\(y_k+1\)。
=> 第k+1点\((x_{k+1}, y_{k+1})\)有2个选择：\((x_k+1,y_k ) or (x_k+1,y_k+1)\)
tips: 哪个像素点距离直线更近，Bresenham算法就选择那个点作为下一个要绘制的点。然而，计算点到直线的距离方法复杂，而且涉及(斜率)浮点数运算。为了简化运算，Bresenham算法并没有用点到线的垂直距离，而是利用y轴或x轴方向的偏移替代。
根据\((1)\)，直线在\(x_{k+1}\)位置的y值（理论值）：
记2个备选点\(y_k, y_k+1\)到直线的竖直偏移分别为\(d_{1}, d_{2}\)，有：
这里利用了m范围：0 < m < 1，有\(d_{1} > 0, d_{2} > 0\)，可知，
要判断哪个点距离更近，将\((3)(4)\)做差值：
其中，斜率m、截距b都是常数。
将\(m=∆y/∆x\)代入\((5)\)，两边同时乘∆x，可得，
令常数c：\(c=∆x(2b-1)\)，可得第k步决策参数：
∵m > 0 ∴∆x>0 ∴\(p_k, d_{1}-d_{2}\)同号
问题转化为求\(p_k\)。
1)求\(p_k\)递推公式
根据\((6)\)，当k取值k+1时，有
\((7)-(6)\)可得递推公式，
∵\(x_{k+1}=x_k+1\), \(y_{k+1}-y_k\)取值（0或1）取决于\(p_k\)的符号。
∴
2)求初值\(p_0\)
∵起始点\((x_0, y_0)\)在直线上
∴
又\(b=y_0-mx_0=y_0-x_0∆y/∆x\) => \(∆xb=∆xy_0-x_0∆y\)
∴
综上，可将0<m<1时，Bresenham画线算法归纳为如下步骤：
- 输入线段2端点，左端点存储在\((x_0, y_0)\)；
- 将\((x_0, y_0)\)装入帧缓存，画出第一个点；
- 计算常量\(∆x, ∆y, 2∆y, 2∆y-2∆x\)，得到决策参数初值：\(p_0=2∆y-∆x\)
- 从k=0开始，沿着线段路径，每个\(x_k\)处，计算下一个要绘制的点位置：
如果\(p_k<0\)，下一个要绘制点\((x_k+1, y_k)\)，且\(p_{k+1}=p_k+2∆y\)；
否则，下一个要绘制点\((x_k+1, y_k+1)\)，且\(p_{k+1}=p_k+2∆y-2∆x\)； - 重复步骤4)，共计∆x-1次。
可写出0<m<1时，Bresenham算法程序：
void setPixel(int x, int y)
{
glBegin(GL_POINTS);
glVertex2i(x, y);
glEnd();
}
// case 0 < m < 1
void lineBresenham(int x0, int y0, int xe, int ye)
{
int dx = abs(xe - x0), dy = abs(ye - y0);
int p = 2 * dy - dx;
int twoDy = 2 * dy, twoDx = 2 * dx, twoDyMinusDx = 2 * (dy - dx);
int x, y;
/* determine which endpoint to use as a start point */
if (x0 > xe) {
x = xe;
y = ye;
xe = x0;
}
else {
x = x0;
y = y0;
}
setPixel(x, y); // draw pixel
while (x < xe) {
x++;
if (p < 0) {
p += twoDy;
}
else {
y++;
p += twoDyMinusDx;
}
setPixel(x, y);
}
}
其他斜率
简化一下推理过程。
- 当0<m<1时
从像素点角度看，整个过程：
x: x0 -> xe, 递增(↑), x每次+1
y: y0 -> ye, 非递减(↑), y是否+1取决于p符号, 而p可由递推公式计算
有\(Δx > Δy\)，可按x轴逐像素绘制，x每次+1
=> \(x_{k+1} = x_k + 1\)
∵y=f(x): y = mx + b连续且递增
∴\((x_k, y_k)\)下一像素点\((x_{k+1}, y_{k+1})\)选择：\((x_{k+1}, y_{k})\) or \((x_{k+1}, y_{k}+1)\)
=>
\(x_{k+1}\)处垂直偏移\(d_{1}\), \(d_{2}\)分别用来（近似）代表点\((x_k+1, y_k)\), \((x_k+1, y_k+1)\)到直线的距离（均>=0）。
\(d_{1}, d_{2}\)做差值，
两边乘以\(Δx\)，可得决策参数\(p_k\)：
k取k + 1，可得
根据\(y_{k+1}\)与\(y_k\)关系，可得，
注：Δx>0, Δy>0
而初值\(p_0\)，
- 当-1<m<0时
从像素点角度看，整个过程：
x: x0 -> xe, 递增(↑), x每次+1
y: y0 -> ye, 非递增(↓), y是否-1取决于p符号，p由递推公式计算
\((x_k, y_k)\)下一像素点：\((x_k + 1, y_k)\) or \((x_k + 1, y_k - 1)\)
做差值可得，
发现与0<m<1情形一样。因此，对于决策参数\(p_k\)：
将\(p_{k+1}\)与\(p_k\)做差值，求递推公式：
注: Δx>0, Δy<0
∵Δx>0
∴\(p_k\)与\(d_{1}-d_{2}\)同号
初值\(p_0\)：\(p_0=-2Δy-Δx\)
综合 0<m<1以及-1<m<0，不难发现：
当m>1时，只需要将0<m<1情形的x、y规则对换即可；
当m<-1时，只需要将-1<m<0情形的x、y规则对换即可。
可以写出下面程序，适用于所有斜率的Bresenham算法：
// 在(x,y)位置绘制像素点
void set_pixel(int x, int y)
{
glBegin(GL_POINTS);
glVertex2i(x, y);
glEnd();
}
// 适用所有斜率的通用Bresenham画线算法
// (x1,y1) (x2, y2)是线段两端点
void bresenham_line(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
int dx = x2 - x1;
int dy = y2 - y1;
int stepX = dx >= 0 ? 1 : -1;
int stepY = dy >= 0 ? 1 : -1;
dx = abs(dx);
dy = abs(dy);
if (dx > dy) { // |m| < 1
int p = 2 * dy - dx;
int y = y1;
for (int x = x1; x != x2; x += stepX) {
set_pixel(x, y);
if (p > 0) {
y += stepY;
p -= 2 * dx;
}
p += 2 * dy;
}
}
else { // |m| >= 1
int p = 2 * dx - dy;
int x = x1;
for (int y = y1; y != y2; y += stepY) {
set_pixel(x, y);
if (p > 0) {
x += stepX;
p -= 2 * dy;
}
p += 2 * dx;
}
}
}
参考
[1]DonaldHearn,M.PaulineBaker,赫恩,等.计算机图形学(第四版)[M].电子工业出版社,2014.
[2]KATEX公式编辑器符号大全-CSDN的Mardown公式支持 | CSDN
