0-1背包问题

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• 方法：动态规划

题目来源：01背包 | 牛客网

描述

已知一个背包最多能容纳体积之和为v的物品。现有 n 个物品，第 i 个物品的体积为 vi , 重量为 wi。求当前背包最多能装多大重量的物品?

数据范围： 1≤v≤1000，1≤n≤1000，1≤n≤1000 ， 1≤vi≤1000， 1≤wi≤1000

进阶：O(n⋅v)

方法：动态规划

每个物品只有2种状态：放入（0），不放入（1），也因此称为01背包问题。

假设第i个阶段表示处理第i个物品，第i-1个阶段表示处理第i-1个物品，则当处理第i个物品时，前i-1个物品已处理完毕，只需要考虑第i-1阶段向第i阶段的转移。

状态表示：c[i][j] 表示将前i种物品放入体积为j的背包中，获得的最大重量。

第i个物品处理状态 2种：

1. 不放入：放入背包的重量不增加（跟第i-1个物品一样），c[i][j] = c[i-1][j]。
2. 放入：问题可转化为，在第i-1阶段向第i阶段转化。因为第i阶段已经放入体积v[i]（重量w[i]），所以第i-1阶段体积j-v[i]，此时可以知道c[i][j] = c[i-1][j-v[i]] + w[i]

特殊情况：背包体积不够，则肯定不能放入物品，有c[i][j] = c[i-1][j]，j < v[i]

因此，可以得到状态转移方程：
当j < v[i]时，c[i][j] = c[i-1][j]
当j >= v[i]时，c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i-1][j-v[i]] + w[i])

而初始状态：
c[0..n][j] = 0，c[i][0..V] = 0

因此，可以通过状态转移方程得到所有c[i][j]值，而c[n][V]就是所求。
代码：

/**
 * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
 * 计算01背包问题的结果
 * @param V int整型 背包的体积
 * @param n int整型 物品的个数
 * @param vw int整型vector<vector<>> 第一维度为n,第二维度为2的二维数组,vw[i][0],vw[i][1]分别描述i+1个物品的vi,wi
 * @return int整型
 */
int knapsack(int V, int n, vector<vector<int> >& vw) {
    // write code here
    //         assert(V >= 1 && V <= 1000);
    //         assert(n >= 1 && n == vw.size());
    //         assert(vw[0].size() == 2);

    vector<vector<int> > c(n + 1, vector<int>(V + 1, 0)); // 全部初始化为0

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= V; ++j) {
            int idx = i - 1;
            if (j < vw[idx][0]) {
                c[i][j] = c[i - 1][j];
            }
            else {
                c[i][j] = std::max(c[i - 1][j], c[i - 1][j - vw[idx][0]] + vw[idx][1]);
            }
        }
    }
    return c[n][V];
}