Day43 |121. 买卖股票的最佳时机 （只能买卖一次）、122.买卖股票的最佳时机II（可以买卖多次）、123.买卖股票的最佳时机III （最多买卖2次）

股票问题是一个动态规划的系列问题，前两题并不难，第三题有难度。

121. 买卖股票的最佳时机 （只能买卖一次）

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1Xe4y1u77q
https://programmercarl.com/0121.买卖股票的最佳时机.html
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]

输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思考

贪心和动态规划两种方法。

1.贪心
每天都后悔一下，要是我能在之前最便宜的时候买入就好了。然后算下假如是之前的最低价买入，今天卖有多少利润，更新最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        max_profit = 0
        cost = float('inf')
        for i in range(len(prices)):
            # 最低成本，左侧最小值
            cost = min(cost,prices[i])
            # 右侧最大利润
            max_profit = max(max_profit,prices[i]-cost)
        return max_profit

2.动态规划

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # dp[i][0] 第i天持有股票时的现金
        # dp[i][1] 第i天不持有股票的现金
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1,len(prices)):
            #只能买卖一次
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],0-prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0])
        return dp[len(prices)-1][1]

122.买卖股票的最佳时机II（可以买卖多次）

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1D24y1Q7Ls
https://programmercarl.com/0122.买卖股票的最佳时机II（动态规划）.html

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]

输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]

输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]

输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思考

贪心和动态规划两种方法。与121题的区别是每天都可以买卖。

1. 贪心
   每天都可以买，只要比昨天价格高，就卖掉。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        profit = 0
        for i in range(1,len(prices)):
            if prices[i]-prices[i-1]>0:
                # 假设可以n+0交易，当天买当天卖，只收集每天正利润
                profit+=prices[i]-prices[i-1] 
        return profit

2. 动态规划

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # dp[i][0] 第i天持有股票时的现金
        # dp[i][1] 第i天不持有股票的现金
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1,len(prices)):
            #可以每天交易
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0])
        return dp[len(prices)-1][1]

123.买卖股票的最佳时机III （最多买卖2次）

这道题一下子就难度上来了，关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1WG411K7AR
https://programmercarl.com/0123.买卖股票的最佳时机III.html

思考

这道题太难了，先背下来把。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
        dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][3] = -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i])
        return dp[-1][4]