乘法循环群

前言：一直对乘法循环群的定义和概念没有深刻的理解，最近又用到了这个知识，做一些整理。

 

1、半群：

 定义1：设G是一个非空集合，∘是G上的一个二元运算。如果∘满足结合律，即对于任意的a,b,c∈G，都有(a∘b)∘c=a∘(b∘c)，则称(G,∘)是一个半群，G为其基础集合。

设(G,∘)是一个半群，如果G是有限的，则称(G,∘)是一个有限半群。如果∘满足交换律，即对于任意的a,b∈G，都有a∘b=b∘a，则称(G,∘)是一个交换半群。

 

$2、亚群：$

定义2：设(G,∘)是一个半群。如果存在1∈G，使得1∘a=a∘1=a对于所有的a∈G成立，则称此半群(G,∘)为一个亚群（或称为拟群、幺半群、独异点、四分之三群），记作(G,∘,1)，也称此半群满足同一律，并称1为此半群的单位元、幺元或恒等元。

若亚群(G,∘,1)是一个交换半群，则称为交换亚群。

 

$3、群：$

定义3：设(G,∘,1)是一个亚群，如果G的每一个元素都可逆，则称(G,∘,1)是一个群，|G|称为该群的阶。

如果|G|有限，则称该群为有限群。如果群(G,∘,1)为交换半群，则称该群为交换群或Abel群。

 

若群(G,∘,1)是一个群，必须且只需满足以下四个条件：

$（1）封闭性（良定性）。即G\ne Ø，\circ 运算的结果存在、唯一且封闭。$

（2）结合性。即∘运算满足结合律。即对于任意的a,b,c∈G，都有(a∘b)∘c=a∘(b∘c)

（3）同一性。即∘运算满足同一律，或者说∘运算有恒等元。即存在1∈G，使得1∘a=a∘1=a对于所有的a∈G成立。

（4）可逆性。即G中每一个元素在∘运算下关于恒等元都有逆元。即对于G中的任意元素a，单位元e∈G，G中都存在一个元素a'，使得a∘a'=a'∘a=e成立。

 

$4、循环群：$

定义4： 设(G,∘,1)是一个群。如果存在g∈G，使得对于任意的x∈G，都存在m∈满足x=g^m，则称(G,∘,1)是一个循环群，并称g是该群的一个生成元，即G=<g>。

 

$5、乘法循环群：$

循环群(G,∘,1)中的$\circ$运算为乘法，此时该群$仍满足3中的四个条件。$

 

 GPT的解释：

 

$注：非数学系专业学生，上述概念若理解有误请见谅。$

出处：周炜。数论、群论、有限域 [M]。2013，页码：108-109，124。