TOT 傅立叶变换 FFT 入门
HDU 1402,计算很大的两个数相乘。
FFT 只要78ms，这里；
一些FFT 入门资料：http://wenku.baidu.com/view/8bfb0bd476a20029bd642d85.html （讲解的很详细
http://blog.csdn.net/iamzky/article/details/22712347 （这个也不错
另外算导的其实也蛮好，只是怕公式的看前面的也可。
IDFT只是FFT的逆变换，这里想了很久原来只要在FFT 变换后的结果后/N 即可，算实数部分即可。
前面的一份模板 ：
1 /*
2 algorithm : High-Precision FFT
3
4 */
5 #include <cstdio>
6 #include <cstring>
7 #include <cmath>
8 #include <algorithm>
9 #define N 200005
10 #define pi acos(-1.0) // PI值
11 using namespace std;
12 struct complex
13 {
14 double r,i;
15 complex(double real=0.0,double image=0.0){
16 r=real; i=image;
17 }
18 // 以下为三种虚数运算的定义
19 complex operator + (const complex o){
20 return complex(r+o.r,i+o.i);
21 }
22 complex operator - (const complex o){
23 return complex(r-o.r,i-o.i);
24 }
25 complex operator * (const complex o){
26 return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
27 }
28 }x1[N],x2[N];
29 char a[N/2],b[N/2];
30 int sum[N]; // 结果存在sum里
31 void brc(complex *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
32 {
33 register int i,j,k;
34 for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)
35 {
36 if(i<j) swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
37 // i<j保证只交换一次
38 k=l/2;
39 while(j>=k) // 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
40 {
41 j-=k;
42 k/=2;
43 }
44 if(j<k) j+=k;
45 }
46 }
47 void fft(complex *y,int l,double on) // FFT O(nlogn)
48 // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
49 {
50 register int h,i,j,k;
51 complex u,t;
52 brc(y,l); // 调用反转置换
53 for(h=2;h<=l;h<<=1) // 控制层数
54 {
55 // 初始化单位复根
56 complex wn(cos(on*2*pi/h),sin(on*2*pi/h));
57 for(j=0;j<l;j+=h) // 控制起始下标
58 {
59 complex w(1,0); // 初始化螺旋因子
60 for(k=j;k<j+h/2;k++) // 配对
61 {
62 u=y[k];
63 t=w*y[k+h/2];
64 y[k]=u+t;
65 y[k+h/2]=u-t;
66 w=w*wn; // 更新螺旋因子
67 } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
68 }
69 }
70 if(on==-1) for(i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; // IDFT
71 }
72 int main(void)
73 {
74 int l1,l2,l;
75 register int i;
76 while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
77 {
78 l1=strlen(a);
79 l2=strlen(b);
80 l=1;
81 while(l<l1*2 || l<l2*2) l<<=1; // 将次数界变成2^n
82 // 配合二分与反转置换
83 for(i=0;i<l1;i++) // 倒置存入
84 {
85 x1[i].r=a[l1-i-1]-'0';
86 x1[i].i=0.0;
87 }
88 for(;i<l;i++) x1[i].r=x1[i].i=0.0;
89 // 将多余次数界初始化为0
90 for(i=0;i<l2;i++)
91 {
92 x2[i].r=b[l2-i-1]-'0';
93 x2[i].i=0.0;
94 }
95 for(;i<l;i++) x2[i].r=x2[i].i=0.0;
96 fft(x1,l,1); // DFT(a)
97 fft(x2,l,1); // DFT(b)
98 for(i=0;i<l;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 点乘结果存入a
99 fft(x1,l,-1); // IDFT(a*b)
100 for(i=0;i<l;i++) sum[i]=x1[i].r+0.5; // 四舍五入
101 for(i=0;i<l;i++) // 进位
102 {
103 sum[i+1]+=sum[i]/10;
104 sum[i]%=10;
105 }
106 l=l1+l2-1;
107 while(sum[l]<=0 && l>0) l--; // 检索最高位
108 for(i=l;i>=0;i--) putchar(sum[i]+'0'); // 倒序输出
109 putchar('\n');
110 }
111 return 0;
3
4 */
5 #include <cstdio>
6 #include <cstring>
7 #include <cmath>
8 #include <algorithm>
9 #define N 200005
10 #define pi acos(-1.0) // PI值
11 using namespace std;
12 struct complex
13 {
14 double r,i;
15 complex(double real=0.0,double image=0.0){
16 r=real; i=image;
17 }
18 // 以下为三种虚数运算的定义
19 complex operator + (const complex o){
20 return complex(r+o.r,i+o.i);
21 }
22 complex operator - (const complex o){
23 return complex(r-o.r,i-o.i);
24 }
25 complex operator * (const complex o){
26 return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
27 }
28 }x1[N],x2[N];
29 char a[N/2],b[N/2];
30 int sum[N]; // 结果存在sum里
31 void brc(complex *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
32 {
33 register int i,j,k;
34 for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)
35 {
36 if(i<j) swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
37 // i<j保证只交换一次
38 k=l/2;
39 while(j>=k) // 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
40 {
41 j-=k;
42 k/=2;
43 }
44 if(j<k) j+=k;
45 }
46 }
47 void fft(complex *y,int l,double on) // FFT O(nlogn)
48 // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
49 {
50 register int h,i,j,k;
51 complex u,t;
52 brc(y,l); // 调用反转置换
53 for(h=2;h<=l;h<<=1) // 控制层数
54 {
55 // 初始化单位复根
56 complex wn(cos(on*2*pi/h),sin(on*2*pi/h));
57 for(j=0;j<l;j+=h) // 控制起始下标
58 {
59 complex w(1,0); // 初始化螺旋因子
60 for(k=j;k<j+h/2;k++) // 配对
61 {
62 u=y[k];
63 t=w*y[k+h/2];
64 y[k]=u+t;
65 y[k+h/2]=u-t;
66 w=w*wn; // 更新螺旋因子
67 } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
68 }
69 }
70 if(on==-1) for(i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; // IDFT
71 }
72 int main(void)
73 {
74 int l1,l2,l;
75 register int i;
76 while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
77 {
78 l1=strlen(a);
79 l2=strlen(b);
80 l=1;
81 while(l<l1*2 || l<l2*2) l<<=1; // 将次数界变成2^n
82 // 配合二分与反转置换
83 for(i=0;i<l1;i++) // 倒置存入
84 {
85 x1[i].r=a[l1-i-1]-'0';
86 x1[i].i=0.0;
87 }
88 for(;i<l;i++) x1[i].r=x1[i].i=0.0;
89 // 将多余次数界初始化为0
90 for(i=0;i<l2;i++)
91 {
92 x2[i].r=b[l2-i-1]-'0';
93 x2[i].i=0.0;
94 }
95 for(;i<l;i++) x2[i].r=x2[i].i=0.0;
96 fft(x1,l,1); // DFT(a)
97 fft(x2,l,1); // DFT(b)
98 for(i=0;i<l;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 点乘结果存入a
99 fft(x1,l,-1); // IDFT(a*b)
100 for(i=0;i<l;i++) sum[i]=x1[i].r+0.5; // 四舍五入
101 for(i=0;i<l;i++) // 进位
102 {
103 sum[i+1]+=sum[i]/10;
104 sum[i]%=10;
105 }
106 l=l1+l2-1;
107 while(sum[l]<=0 && l>0) l--; // 检索最高位
108 for(i=l;i>=0;i--) putchar(sum[i]+'0'); // 倒序输出
109 putchar('\n');
110 }
111 return 0;
112 }
UOJ#34
多项式也是常用FFT的，似乎代码可以更短
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cmath>
4 #include <algorithm>
5 #define N 600005
6 #define pi acos(-1.0) // PI值
7 using namespace std;
8 struct complex
9 {
10 double r,i;
11 complex(double real=0.0,double image=0.0){
12 r=real; i=image;
13 }
14 // 以下为三种虚数运算的定义
15 complex operator + (const complex o){
16 return complex(r+o.r,i+o.i);
17 }
18 complex operator - (const complex o){
19 return complex(r-o.r,i-o.i);
20 }
21 complex operator * (const complex o){
22 return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
23 }
24 }x1[N],x2[N];
25 char a[N/2],b[N/2];
26 int sum[N]; // 结果存在sum里
27 void brc(complex *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
28 {
29 register int i,j,k;
30 for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)
31 {
32 if(i<j) swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
33 // i<j保证只交换一次
34 k=l/2;
35 while(j>=k) // 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
36 {
37 j-=k;
38 k/=2;
39 }
40 if(j<k) j+=k;
41 }
42 }
43
44
45 void fft(complex *y,int l,double on) // FFT O(nlogn)
46 // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
47 {
48 register int h,i,j,k;
49 complex u,t;
50 brc(y,l); // 调用反转置换
51 for(h=2;h<=l;h<<=1) // 控制层数
52 {
53 // 初始化单位复根
54 complex wn(cos(on*2*pi/h),sin(on*2*pi/h));
55 for(j=0;j<l;j+=h) // 控制起始下标
56 {
57 complex w(1,0); // 初始化螺旋因子
58 for(k=j;k<j+h/2;k++) // 配对
59 {
60 u=y[k];
61 t=w*y[k+h/2];
62 y[k]=u+t;
63 y[k+h/2]=u-t;
64 w=w*wn; // 更新螺旋因子
65 } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
66 }
67 }
68 if(on==-1) for(i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; // IDFT
69 }
70
71 int main(void)
72 {
73 int n,m,i;
74 scanf("%d",&n);
75 scanf("%d",&m);
76 n++;
77 m++;
78 int l=1;
79 while(l<n*2 || l<m*2) l<<=1; // 将次数界变成2^n
80 // 配合二分与反转置换
81 for(i=0;i<n;i++) // 倒置存入
82 {
83 scanf("%lf",&x1[i].r);
84 x1[i].i=0.0;
85 }
86 for(;i<l;i++) x1[i].r=x1[i].i=0.0;
87 // 将多余次数界初始化为0
88 for(i=0;i<m;i++)
89 {
90
91 scanf("%lf",&x2[i].r);
92 x2[i].i=0.0;
93 }
94
95 //for (int i=0;i<m/2;i++) swap(x1[i],x1[m-i-1]);
96 for(;i<l;i++) x2[i].r=x2[i].i=0.0;
97
98 fft(x1,l,1); // DFT(a)
99 fft(x2,l,1); // DFT(b)
100 for(i=0;i<l;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 点乘结果存入a
101 fft(x1,l,-1); // IDFT(a*b)
102 for(i=0;i<l;i++) sum[i]=x1[i].r+0.5; // 四舍五入
103 /*
104 for(i=0;i<l;i++) // 进位
105 {
106 sum[i+1]+=sum[i]/10;
107 sum[i]%=10;
108 }
109 */
110 l=n+m-1;
111 //cout<<l<endl;
112 // while(sum[l]<=0 && l>0) l--; // 检索最高位
113 for(i=0;i<l-1;i++) printf("%d ",sum[i]); // 倒序输出
114 printf("%d\n",sum[l-1]);
115 return 0;
2 #include <cstring>
3 #include <cmath>
4 #include <algorithm>
5 #define N 600005
6 #define pi acos(-1.0) // PI值
7 using namespace std;
8 struct complex
9 {
10 double r,i;
11 complex(double real=0.0,double image=0.0){
12 r=real; i=image;
13 }
14 // 以下为三种虚数运算的定义
15 complex operator + (const complex o){
16 return complex(r+o.r,i+o.i);
17 }
18 complex operator - (const complex o){
19 return complex(r-o.r,i-o.i);
20 }
21 complex operator * (const complex o){
22 return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
23 }
24 }x1[N],x2[N];
25 char a[N/2],b[N/2];
26 int sum[N]; // 结果存在sum里
27 void brc(complex *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
28 {
29 register int i,j,k;
30 for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)
31 {
32 if(i<j) swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
33 // i<j保证只交换一次
34 k=l/2;
35 while(j>=k) // 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
36 {
37 j-=k;
38 k/=2;
39 }
40 if(j<k) j+=k;
41 }
42 }
43
44
45 void fft(complex *y,int l,double on) // FFT O(nlogn)
46 // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
47 {
48 register int h,i,j,k;
49 complex u,t;
50 brc(y,l); // 调用反转置换
51 for(h=2;h<=l;h<<=1) // 控制层数
52 {
53 // 初始化单位复根
54 complex wn(cos(on*2*pi/h),sin(on*2*pi/h));
55 for(j=0;j<l;j+=h) // 控制起始下标
56 {
57 complex w(1,0); // 初始化螺旋因子
58 for(k=j;k<j+h/2;k++) // 配对
59 {
60 u=y[k];
61 t=w*y[k+h/2];
62 y[k]=u+t;
63 y[k+h/2]=u-t;
64 w=w*wn; // 更新螺旋因子
65 } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
66 }
67 }
68 if(on==-1) for(i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; // IDFT
69 }
70
71 int main(void)
72 {
73 int n,m,i;
74 scanf("%d",&n);
75 scanf("%d",&m);
76 n++;
77 m++;
78 int l=1;
79 while(l<n*2 || l<m*2) l<<=1; // 将次数界变成2^n
80 // 配合二分与反转置换
81 for(i=0;i<n;i++) // 倒置存入
82 {
83 scanf("%lf",&x1[i].r);
84 x1[i].i=0.0;
85 }
86 for(;i<l;i++) x1[i].r=x1[i].i=0.0;
87 // 将多余次数界初始化为0
88 for(i=0;i<m;i++)
89 {
90
91 scanf("%lf",&x2[i].r);
92 x2[i].i=0.0;
93 }
94
95 //for (int i=0;i<m/2;i++) swap(x1[i],x1[m-i-1]);
96 for(;i<l;i++) x2[i].r=x2[i].i=0.0;
97
98 fft(x1,l,1); // DFT(a)
99 fft(x2,l,1); // DFT(b)
100 for(i=0;i<l;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 点乘结果存入a
101 fft(x1,l,-1); // IDFT(a*b)
102 for(i=0;i<l;i++) sum[i]=x1[i].r+0.5; // 四舍五入
103 /*
104 for(i=0;i<l;i++) // 进位
105 {
106 sum[i+1]+=sum[i]/10;
107 sum[i]%=10;
108 }
109 */
110 l=n+m-1;
111 //cout<<l<endl;
112 // while(sum[l]<=0 && l>0) l--; // 检索最高位
113 for(i=0;i<l-1;i++) printf("%d ",sum[i]); // 倒序输出
114 printf("%d\n",sum[l-1]);
115 return 0;
116 }
BZOJ 2194
http://hzwer.com/6902.html 参考这篇blog
卷积啥的现在还是晕晕的。
BZOJ 3527
有了前面的卷积，那么这道题就是化简了
http://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/4126284.html
http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/44910225
随性Code
