数据结构之区间K大数
求区间的问题有很多类，虽然前人有很多讲解了；
但是我在这里在普及一下，算是自己的一种复习吧。
1.静态询问一个区间的的第k大数，比如询问[l,r] k大数。虽然主席树可以处理，但是这类问题应该是划分树最合适的地方。
划分树---
实际上是利用大概一种类似快排的思想 来求解第K大数。
建树
建树的过程比较简单，对于区间[l,r]，首先通过对原数组的排序找到这个区间的中位数a[mid]，小于a[mid]的数划入他的左子树[l,mid-1]，大于它的划入右子树[mid,r]。同时，对于第i个数，记录在[l,i]区间内有多少数被划入左子树。最后，对它的左子树区间[l,mid-1]和右子树区间[mid,r]递归的继续建树就可以了。
建树的时候要注意对于被分到同一子树的元素，元素间的相对位置不能改变。
查找
查找的过程中主要问题就是确定将要查找的区间。这个问题有些麻烦。
先看一下查找过程tree_find.他的定义如下：
查找深度为h，在大区间[st,ed]中找小区间[s,e]中的第k元素。
再看看他是如何工作的。我们的想法是，先判断[s,e]中第k元素在[st,ed]的哪个子树中，然后找出对应的小区间和k，递归的进行查找，直到小区间的s=e为止。
那如何解决这个问题呢？这时候前面记录的进入左子树的元素个数就派上用场了。通过之前的记录可以知道，在区间[st,s-1]中有el[h,s-1]进入左子树，记它为l。同理区间[st,e]中有el[h,e]个数进去左子树，记它为r。所以，我们知道区间小区间[s,e]中有(r-l)个数进入左子树。那么如果(r-l)>=k，那么就在左子树中继续查找，否则就在右子树中继续查找。
接着解决查找的小区间的问题。
如果接下来要查找的是左子树，那么小区间应该是[st+([st,s-1]区间进入左子树的个数),st+([st,e]区间内进入左子树的个数)-1]，即区间[st+l,st+r-1]。显然，这里k不用变。
如果接下来要查找的是右子树，那么小区间应该是[mid+([st,s-1]区间中进入右子树的个数),mid+([st,e]区间进入右子树的个数)-1]。即区间[mid+(s-st-l),mid+(e-st-r)]。显然，这里k要减去区间里已经进入左子树的个数，即k变为k-(r-l)。
于是递归继续查找直到s=e即可。
来自百度百科
比较局限
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define N 100005 6 int a[N], as[N];//原数组，排序后数组 7 int n, m; 8 int sum[20][N];//记录第i层的1~j划分到左子树的元素个数(包括j) 9 int tree[20][N];//记录第i层元素序列 10 11 void build(int c, int l, int r){ 12 int i, mid = (l + r) >> 1, lm = mid - l + 1, lp = l, rp = mid + 1; 13 for (i = l; i <= mid; i++){ 14 if (as[i] < as[mid]){ 15 lm--;//先假设左边的(mid - l + 1)个数都等于as[mid],然后把实际上小于as[mid]的减去 16 } 17 } 18 for (i = l; i <= r; i++){ 19 if (i == l){ 20 sum[c][i] = 0;//sum[i]表示[l, i]内有多少个数分到左边，用DP来维护 21 }else{ 22 sum[c][i] = sum[c][i - 1]; 23 } 24 if (tree[c][i] == as[mid]){ 25 if (lm){ 26 lm--; 27 sum[c][i]++; 28 tree[c + 1][lp++] = tree[c][i]; 29 }else 30 tree[c + 1][rp++] = tree[c][i]; 31 } else if (tree[c][i] < as[mid]){ 32 sum[c][i]++; 33 tree[c + 1][lp++] = tree[c][i]; 34 } else{ 35 tree[c + 1][rp++] = tree[c][i]; 36 } 37 } 38 if (l == r)return; 39 build(c + 1, l, mid); 40 build(c + 1, mid + 1, r); 41 } 42 43 int query(int c, int l, int r, int ql, int qr, int k){ 44 int s;//[l, ql)内将被划分到左子树的元素数目 45 int ss;//[ql, qr]内将被划分到左子树的元素数目 46 int mid = (l + r) >> 1; 47 if (l == r){ 48 return tree[c][l]; 49 } 50 if (l == ql){//这里要特殊处理！ 51 s = 0; 52 ss = sum[c][qr]; 53 }else{ 54 s = sum[c][ql - 1]; 55 ss = sum[c][qr] - s; 56 }//假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。 57 if (k <= ss){//sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1], left+sum[r]-1 ] 58 return query(c + 1, l, mid, l + s, l + s + ss - 1, k); 59 }else{//sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1], mid+1+r-left-sum[r] ] 60 return query(c + 1, mid + 1, r, mid - l + 1 + ql - s, mid - l + 1 + qr - s - ss,k - ss); 61 } 62 } 63 64 int main(){ 65 int i, j, k; 66 while(~scanf("%d%d", &n, &m)){ 67 for (i = 1; i <= n; i++){ 68 scanf("%d", &a[i]); 69 tree[0][i] = as[i] = a[i]; 70 } 71 sort(as + 1, as + 1 + n); 72 build(0, 1, n); 73 while(m--){ 74 scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);// i,j分别为区间起始点，k为该区间第k大的数。 75 printf("%d\n", query(0, 1, n, i, j, k)); 76 } 77 } 78 return 0; 79 }
