CF1909F2 Small Permutation Problem (Hard Version)

UPD on 2024.01.04：换了个图床，望过审。

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，其中 $a_{i} \in [- 1, n]$ ，试计算满足以下条件的 $[1, n]$ 的排列 $p$ 的个数：

$\forall i \in [1, n], 有 \sum_{1 \leq j \leq i} [p_{j} \leq i] = a_{i} 或 a_{i} = - 1$

$n \leq 2 \times 10^{5}$ 。

Easy Version 传送门

硬版本跟简单版本的区别就在于，存在 $a_{i} = - 1$ ，也就是对正方形内数字个数不做要求的情况。因此我们仍然可以借用简单版本的思路，将其放到二维平面上思考。

注意到 $a_{i} = - 1$ 的 $i$ 对其他数字的放置不构成任何影响，那么我们只需要考虑 $a_{i} \neq - 1$ 的 $i$ 即可。对于某个 $i$ ，设 $j < i$ 为离 $i$ 最近的 $a_{j} \neq - 1$ 的 $j$ （若不存在就设为 $0$ ）。我们发现此时 $d = a_{i} - a_{j}$ 不再满足 $d \in {0, 1, 2}$ 的限制，且 L 形的宽度不再为 $1$ ，因此好像不能借用 Easy Version 的思路分类讨论了。

举个例子，假设 $a_{4} = 2, a_{5} = - 1, a_{6} = 5$ ，我们现在在填 $i = 6$ 的格子，则有：

此时 L 形的宽度为 $2$ ，且需要在 $i, p_{i} \leq 4$ 的区域放置两个点，那么我们很容易知道会有两行与两列的点受到影响。我们不关心具体是哪两行两列无法放置点，因此不失一般性的，我们假设是 $1, 2$ 这两行两列无法放置。那么就有：

只有图中红色的部分是可用的。进一步的，我们将红色的部分划分为两个区域：

考虑枚举左边的矩形内放了多少个点，不妨设为 $k$ 个，我们仍然不关心其被放置的具体位置，只需要知道，每放置一个点，右边部分的可用行，也就是纵坐标，就会减少 $1$ ，那么我们可以将原问题抽象为在两个矩形内部放置点，例如，假设 $k = 1$ ，那么左边的矩形长宽不变，而右边的矩形长度就会减一，那么也就是在一个长宽均为 $2$ 的矩形（也就是左边的矩形）内部放置一个点，再在一个长为 $3$ ，宽为 $2$ 的矩形（也就是右边的矩形减掉一行）内部放置剩下的一个点。那么我们只需要知道在确定长宽的矩形内放置点的方案数即可。

设矩形的长为 $h$ ，宽为 $w$ ，需要放置的点数为 $k$ ，为了保证没有同一行或者同一列上被放置了超过一个点，就需要先选出 $k$ 个互不相同的行，方案数为 $(\binom{w}{k})$ ，再选出 $k$ 个互不相同的列，方案数为 $(\binom{h}{k})$ ，最后再把这 $k$ 行与 $k$ 列两两配对，方案数为 $k!$ 。综上，选点的方案数就为 $(\binom{h}{k}) (\binom{w}{k}) k!$ 。

形式化的，对于某一对 $i, j$ ，可以得到，左边的矩形的长宽分别为 $i - j, j - a_{j}$ ，而右边的矩形长宽就分别为 $i - j, i - a_{j}$ 。设在左边的矩形内选 $k$ 个点，则右边的矩形的长宽就会变为 $i - j, i - a_{j} - k$ 。因此，其方案数为：