ABC300E Dice Product 3

题意

初始一个整数为 $1$，你有一个可以等概率地掷出 $1$ 至 $6$ 这六个数值的骰子，再给定一个整数 $N$，当初始给出的整数严格小于 $N$ 时，重复以下操作：

• 掷一次骰子，将初始给出的整数乘上你掷出来的数字。

求出最终得到 $N$ 的概率模上 $998244353$ 的值。

思路

先判无解。由于骰子只能掷出 $1$ 至 $6$ 的值，而 $[1,6]$ 中共有三个质数 $2$，$3$ 与 $5$，因此如果一个整数能由以上操作得到，则其一定能被分解为 $2^a{3}^b{5}^c$ 的形式，否则无论如何也不能得到。

我们令 $P(x)$ 为当前数为 $x$ 时，最终得到 $N$ 的概率。不难得到当当前得到的数字已经比 $N$ 还大时，得到 $N$ 的概率为 $0$，而当 $x=N$，即我们已得到 $N$ 时，概率为 $1$。而当当前数字比 $N$ 小时，根据题意，需要再掷一次骰子并将当前得到的数乘上投出来的数。于是我们可以写出如下的方程：

$$P(x)=\{\begin{array}{ll}0& x>N\\ 1& x=N\\ \frac{P(x)+P(2x)+P(3x)+P(4x)+P(5x)+P(6x)}{6}& x<N\end{array}$$

第三种情况的式子有点怪，两边都有 $P(x)$，因此我们考虑移项：

$$\begin{array}{rl}P(x)& =\frac{P(x)}{6}+\frac{P(2x)+P(3x)+P(4x)+P(5x)+P(6x)}{6}\\ \frac{5P(x)}{6}& =\frac{P(2x)+P(3x)+P(4x)+P(5x)+P(6x)}{6}\\ P(x)& =\frac{P(2x)+P(3x)+P(4x)+P(5x)+P(6x)}{5}\end{array}$$

然后就做完了，由于这个式子显然没有后效性，因此我们可以记忆化，但是由于要模上 $998244353$，因此不能使用普通的数组，而是要用 map 状物来保存计算值。

代码

使用了 AtCoder 官方黑科技 atcoder_library，用于简化逆元计算。这个代码写得还是有点复杂，其实还有很多地方可以简化。

#include <atcoder/modint.hpp>
#include <bits/stdc++.h>
 
using i64 = long long;
using f80 = long double;
 
int main() {
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(0);
 
  i64 n;
  std::cin >> n;
 
  i64 copy = n;
  std::vector<int> factor(6);
  for (auto i : {5, 3, 2}) {
    while (copy % i == 0) {
      copy /= i;
      factor[i]++;
    }
    if (copy == 1) {
      break;
    }
  }
 
  if (copy != 1) {
    std::cout << 0 << "\n";
    return 0;
  }
 
  std::map<i64, atcoder::modint998244353> mp;
 
  std::function<atcoder::modint998244353(i64)> dfs = [&](i64 cur) -> atcoder::modint998244353 {
    if (cur == n) {
      return 1;
    } else if (cur > n) {
      return 0;
    } else if (mp.count(cur)) {
      return mp[cur];
    }
 
    atcoder::modint998244353 res = 0;
    for (int i = 2; i <= 6; i++) {
      res += dfs(i * cur) / 6;
    }
 
    return mp[cur] = res * atcoder::modint998244353(6) / atcoder::modint998244353(5);
  };
 
  std::cout << dfs(1).val() << "\n";
 
  return 0;
}