Rmq(区间最值)
问题是求区间最值问题。
你当然可以写个O(n)的(怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍,估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树(前提是不写错)应该不会挂。但是,这里有更简单的算法,就是ST算法,它可以做到O(nlogn)的预处理,O(1)地回答每个询问。
来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例):
首先是预处理,用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,Dp的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]).
接下来是得出最值,一个很好的办法,做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^k的区间(保证有f[i,j]对应)。直接给出表达式:
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
下面给出C++代码:
#include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> int f[200000][25];//因为log2(200000)也就20左右,所以一个200000*25的数组足够了。 int a[200000]; int min(int a,int b) { return (a>b)?b:a; } int main() { freopen("rmq.in","r",stdin); freopen("rmq.out","w",stdout); int n,m; scanf("%d",&n); scanf("%d",&m); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&f[i][0]); int q=(int)log2(n); for (int j=1;j<=q;j++) for (int i=1;i<=n;i++) { if (i+(1<<j)-1>n) break; f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); } for (int i=1;i<=m;i++) { int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); a=min(f[a][(int)log2(b-a+1)],f[b-(1<<(int)(log2(b-a+1)))+1][(int)log2(b-a+1)]); printf("%d ",a); } printf("\n"); return 0; }
以上内容部分参考了SALTLESS(www.cnblogs.com/saltless)。
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