动态查找表--二叉排序树(二叉查找树)

1、二叉排序树的定义 
　　二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
　　上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树

2、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
  KeyType key； //关键字项
  InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
  struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型

3、二叉排序树上的运算

（1）二叉排序树插入新结点的过程
　　在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：
　　(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
　　(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
       　　(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
       　　(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
       　　(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
　　子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。

（2）二叉排序树的生成

　　二叉排序树的生成，是从空的二叉排序树开始，每输入一个结点数据，就调用一次插入算法将它插入到当前已生成的二叉排序树中。生成二叉排序树的算法如下：
  BSTree CreateBST(void)
   { //输入一个结点序列，建立一棵二叉排序树，将根结点指针返回
    BSTree T=NULL； //初始时T为空树
    KeyType key；
    scanf("％d"，&key)； //读人一个关键字
    while(key){ //假设key=0是输人结束标志
      InsertBST(&T，key)； //将key插入二叉排序树T
      scanf("％d"，&key)；//读人下一关键字
     }
    return T； //返回建立的二叉排序树的根指针
   } //BSTree

（3）二叉排序树的生成过程
　　由输入实例(5，3，7，2，4，8)，根据生成二叉排序树算法生成二叉排序树的过程【参见动画演示】
  注意：
　　 输入序列决定了二叉排序树的形态。
　　二叉排序树的中序序列是一个有序序列。所以对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质是对此关键字序列进行排序，使其变为有序序列。"排序树"的名称也由此而来。通常将这种排序称为树排序(Tree Sort)，可以证明这种排序的平均执行时间亦为O(nlgn)。
　　对相同的输入实例，树排序的执行时间约为堆排序的2至3倍。因此在一般情况下，构造二叉排序树的目的并非为了排序，而是用它来加速查找，这是因为在一个有序的集合上查找通常比在无序集合上查找更快。因此，人们又常常将二叉排序树称为二叉查找树。

（4）查找递归算法
    　在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
递归的查找算法：
BSTNode *SearchBST(BSTree T，KeyType key)
  { //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点，成功时返回该结点位置，否则返回NUll
    if(T==NULL||key==T->key) //递归的终结条件
      return T； //T为空，查找失败；否则成功，返回找到的结点位置
    if(key<T->key)
      return SearchBST(T->lchild，key)；
    else
      return SearchBST(T->rchild，key)；//继续在右子树中查找
   } //SearchBST

 

4、算法分析
（1） 在二叉排序树上进行查找时，若查找成功，则是从根结点出发走了一条从根到待查结点的路径。若查找不成功，则是从根结点出发走了一条从根到某个叶子的路径。注意：
    　与二分查找类似，和关键字比较的次数不超过树的深度。

(2)在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关
    　二分查找法查找长度为n的有序表，其判定树是惟一的。含有n个结点的二叉排序树却不惟一。对于含有同样一组结点的表，由于结点插入的先后次序不同，所构成的二叉排序树的形态和深度也可能不同
【例】下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的：
        45，24，55，12，37，53，60，28，40，70
     下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的：
        12，24，28，37，40，45，53，55，60，70

   在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关：
　　①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，亦是(n+1)/2。
　　②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。
　　③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。

(3)二叉排序树和二分查找的比较
    　就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。
    　就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)，因此更有效。二分查找所涉及的有序表是一个向量，若有插入和删除结点的操作，则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时，宜用向量作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作；若有序表里动态查找表，则应选择二叉排序树作为其存储结构。

(4)平衡二叉树
    　为了保证二叉排序树的高度为lgn，从而保证然二叉排序树上实现的插入、删除和查找等基本操作的平均时间为O(lgn)，在往树中插入或删除结点时，要调整树的形态来保持树的"平衡。使之既保持BST性质不变又保证树的高度在任何情况下均为O(lgn)，从而确保树上的基本操作在最坏情况下的时间均为O(lgn)。
注意：
　    ①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。
    　②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。
    　③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。
    　④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树度高约为lgn，AVL树是接近最优的。