Linked List Cycle

Problem I:

Given a linked list, determine if it has a cycle in it.

Problem II:

Given a linked list, return the node where the cycle begins, if there is no cycle, return null.

Follow up:

Can you solve it without using extra space?

分析：

第一个问题要求检测链表中是否有环路。解决思路很直观，用快慢指针，一个一次一步，另一个一次两步，如果有环路，两个指针必然相遇。

第二问是在第一问的基础上进一步讨论环路的起点在哪里，间接的问题也是在问两个指针相遇在哪里。先看例子，比较直观。下图中的链表一共有5个节点组成，其中3个构成环路。慢指针从头节点开始，需要两步走到环路的起点(3)，快指针一次走两步，两次到(5)。两个指针的相遇是在(4)上，慢指针一共走了3步，快指针一共走了6步。接下来做点简单的理论分析。有以下几个结论：

(1) 相遇的地点一定在环路上；

(2) 相遇时，慢指针一定在环路上走了小于等于一圈；

(3) 假设慢指针需要k步走到环路的起点，相遇时慢指针走了m步，那么快指针走了2m步，且相遇点是在偏离环路起点m-k的位置（0≤m-k<n，其中n为环路的节点数），并且m = λn。

结论(1)是显然的。两个同时出发的指针，一个速度是另外一个的两倍，如果一直走在直线上，永远都不可能相遇。有环路时，一旦进入环路就不可能出来，所以相遇的地点必然在环路上。

结论(2)也比较显然，两个指针如果绕着一个环开始走，慢指针走了一圈时，快指针一定走了两圈，两者相遇的地点恰好是起始的位置。而如果环路的前面有一段直线，当慢指针走到环路的起点时，快指针已经绕着环走了一些时候，快指针所处的位置，如果在环路起点，则与前面讨论的情况一样，它们会在环路起点相遇；如果在环路上别的位置，就已经领先了慢指针一些距离，那么慢指针一定走不满一圈就被追上了。

有了结论(2)，相遇时，快指针走2m步也就是显然的。

假设相遇点偏离了环路起点x步，对于慢指针在环路外走了k步，环路上走了x步，一共走了m步，所以

k + x = m

对于快指针，在环路外走了k步，环路上绕着环至少绕了一圈，设走了λn步（λ≥1），一共走了2m步，所以

k + (x + λn) = 2m

两式相减得到m = λn。所以相遇点x = m - k，也即x = λn - k，这个关系提示我们，如果从相遇点开始走，那么k步之后可以走回起始点，所以可以让一个指针从其实位置走，另外一个指针从相遇点开始走，k步之后它们会在环路的起点相遇。

对于图中的例子，k = 2，x = 1，m = 3，n = 3，λ = 1。k越大，环越小λ也会越大，相遇也就越慢，不过不管k有多大，快指针也不会访问整个链表两遍，所以不用担心算法很慢，还是线性的时间复杂度。题目的代码比分析要简洁的多了。

class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        if(head == NULL)
            return NULL;
        
        ListNode *slow, *fast;
        slow = fast = head;
        while(fast->next != NULL && fast->next->next != NULL) {
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
            if(slow == fast) { // meet
                slow = head;
                while(slow != fast) {
                    slow = slow->next;
                    fast = fast->next;
                }
                return slow;
            }
        }
        
        return NULL;
    }
};