Dijkstra

幻言

l 用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。

l Dijkstra的时间复杂度是O (N2)（可优化为O(|E|log|V|)），它不能处理存在负边权的情况。

算法描述：

l 设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。

a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0;

b)For (i = 1; i <= n ; i++)

1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。

2.u标记为已确定最短路径

3.更新与u相连的每个未确定最短路径的顶点v

if (dis[u]+w[u][v] < dis[v]) {

dis[v] = dis[u] + w[u][v];

pre[v] = u;

}

c)算法结束：dis[v]为s到v的最短距离；pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。

l 从起点到一个点的最短路径一定会经过至少一个“中转点”（例如下图1到5的最短路径，中转点是2。特殊地，我们认为起点1也是一个“中转点”）。显而易见，如果我们想求出起点到一个点的最短路径，那我们必然要先求出中转点的最短路径（例如我们必须先求出点2 的最短路径后，才能求出从起点到5的最短路径）。

l 换句话说，如果起点1到某一点V0的最短路径要经过中转点Vi，那么中转点Vi 一定是先于V0被确定了最短路径的点。

l 我们把点分为两类，一类是已确定最短路径的点，称为“白点” ，另一类是未确定最短路径的点，称为“蓝点” 。如果我们要求出一个点的最短路径，就是把这个点由蓝点变为白点。从起点到蓝点的最短路径上的中转点在这个时刻只能是白点。

l Dijkstra的算法思想，就是一开始将起点到起点的距离标记为0，而后进行n次循环，每次找出一个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为白点。随后枚举所有的蓝点vi，如果以此白点为中转到达蓝点vi的路径dis[u]+w[u][vi]更短的话，这将它作为vi的“更短路径”dis[vi]（此时还不确定是不是vi的最短路径）。

l 就这样，我们每找到一个白点，就尝试着用它修改其他所有的蓝点。中转点先于终点变成白点，故每一个终点一定能够被它的最后一个中转点所修改，而求得最短路径。

l 算法开始时，作为起点的dis[1] = 0，其他的点dis[i] = 0x7fffffff。