索引式优先队列（indexed priority queue）
为了达到O(ElogV)的效率，需要对普利姆算法进行eager实现。
如果我们用java来做，jdk当中的priorityQueue并不能满足我们的要求。
因为我们需要进行一个对索引元素降key的操作（decrease-key）.
/**
* 将索引所关联的key降到newKey
*
* @param index 索引
* @param newKey 新的key
*/
public void decreaseKey(int index, E newKey) {
if (index < 0 || index >= queue.length)
throw new IndexOutOfBoundsException();
if (newKey == null)
throw new NullPointerException();
if (!contains(index))
throw new NoSuchElementException("指定的索引不存在!");
if (this.comparator() != null) {
if (this.comparator().compare((E) keys[index], newKey) <= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须小于原索引关联的key！");
} else {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) getKeyOf(index);
if (key.compareTo(newKey) <= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须小于原索引关联的key！");
}
keys[index] = newKey;
siftUp(getPositionOf(index));
}由于需要知道优先队列中元素的索引以支持外部索引式访问，我们将对priorityQueue中的Queue建立索引，并将此索引当作二叉堆实际存储的元素，而原来的元素我们通过索引表来访问它.
/**
* 索引所关联的keys
*/
private transient Object[] keys;
/**
* 建立一个从索引在二叉堆中的位置到索引的映射
*/
private transient int[] queue;这里还有一个问题，就是在进行上浮（siftUp）和下沉(siftDown)时，需要对堆中的元素和位置进行互访，我们还需要建立一个索引到位置的倒排，或者索引到位置的一个映射.
/**
* 建立一个从索引到其在二叉堆中位置的映射，下标是关联key的索引
*/
private transient int[] postQueue;这样我们就可以按下面的方式访问二叉堆中的索引、它在二叉堆中的位置、以及它关联的key：
/**
* 返回给定位置的索引
*
* @param position 二叉堆中的位置
* @return 给定位置的索引
*/
private int getIndexOf(int position) {
return queue[position];
}
/**
* 返回给定索引在二叉堆中的位置
*
* @param index 索引
* @return 给定索引在二叉堆中的位置
*/
private int getPositionOf(int index) {
return postQueue[index];
}
/**
* 返回给定索引所关联的key
*
* @param index 索引
* @return 索引所关联的key
*/
private E getKeyOf(int index) {
return (E) keys[index];
}而交换元素时，需要先交换索引，然后再维护索引到位置的映射：
/**
* 按位置交换
*
* @param x 一个元素的位置
* @param y 另一个元素的位置
*/
private void exchangeByPosition(int x, int y) {
int tmp = queue[x];
queue[x] = queue[y];
queue[y] = tmp;
postQueue[queue[x]] = x;
postQueue[queue[y]] = y;
}这样，我们的上浮操作看起来是这样的：
private void siftUpComparable(int k) {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) keys[getIndexOf(k)];
while (k > 0) {
int parent = (k - 1) >>> 1;
Object e = keys[queue[parent]];
if (key.compareTo((E) e) >= 0)
break;
exchangeByPosition(k, parent);
k = parent;
}
}而下沉操作就变成了这样：
private void siftDownUsingComparator(int k) {
E x = getKeyOf(getIndexOf(k));
int half = size >>> 1;
while (k < half) {
//假设作孩子是least
int child = (k << 1) + 1;
Object c = keys[child];
int right = child + 1;
//如果右孩子更小，那就和右孩子比较
if (right < size &&
comparator.compare((E) c, getKeyOf(getIndexOf(right))) > 0)
c = getKeyOf(getIndexOf(child = right));
//当元素不大于它的所有孩子时停止
if (comparator.compare(x, (E) c) <= 0)
break;
//否则交换元素和它最小的孩子
exchangeByPosition(k, child);
//继续下沉
k = child;
}
}既然加入了对元素的索引支持，那么入队操作就变成了这样：
/**
* 将index关联的key加入队列
*
* @param index 索引
* @param key key
* @return
*/
public boolean offer(int index, E key) {
if (index < 0)
throw new IndexOutOfBoundsException();
if (key == null)
throw new NullPointerException();
int last = size;
//是否需要扩容
if (last >= keys.length)
grow(last + 1);
size = last + 1;
//首先将元素加入到队尾，然后从队尾上浮，直到满足堆的不变性
//index到position的映射
postQueue[index] = last;
//position到index的映射
queue[last] = index;
//保存index关联的key
keys[index] = key;
if(last == 0)
return true;
//上浮
siftUp(last);
return true;
}相应的，出队操作也要修改：
/**
* 返回最优先的元素并在队列中删除此元素
*
* @return 最优先的元素, 如果为负，表示队列已空
*/
public int poll() {
if (size == 0)
return -1;
int tail = --size;
int head = getIndexOf(0);
if(tail != 0){
exchangeByPosition(0, tail);
siftDown(0);
}
postQueue[head] = -1;
//队尾的元素经过交换后就是之前的队头，现在可以删除了
keys[getIndexOf(tail)] = null;
queue[tail] = -1;
return head;
}下面是对索引式优先队列的一个完整实现，支持最大优先队列和最小优先队列：
import java.util.*;
/**
* Created by 浩然 on 4/19/15.
* 索引式优先队列
* <p/>
* 建立目的：
* 在实现普利姆算法时，需要用优先队列来优化最轻边的查找.
* 而jdk中的优先队列只满足lazy实现，如果要作eager实现，需实现一个decrease-key操作.
* <p/>
* 参考：
* 1.普林斯顿大学 algorithms 4th edition.
* 2.jdk priorityQueue.
* <p/>
* 说明：
* 1.队头是最least的元素
* 2.可通过自定义Comparable或Comparator实现最大优先、最小优先队列.
* 3.假设是最小优先队列，堆的不变性是指，任何插入、删除、出队、入队的操作都满足以下性质：
* 任何一个父元素的key都不大于子元素的key
* 而对于最大优先队列，则需满足任何一个父元素的key都不小于子元素的key
*/
public class IndexPriorityQueue<E> {
private static final int DEFAULT_INITIAL_CAPACITY = 11;
/**
* 索引所关联的keys
* 以O(1)的时间找出给定索引所关联的key
*/
private transient Object[] keys;
//建立下面两个辅助字段的目的：
//1：以O(1)的时间找到给定索引的位置
//2：以O(1)的时间找到给定位置的索引
/**
* 建立一个从索引在二叉堆中的位置到索引的映射,下标就是索引在二叉堆中的位置
*/
private transient int[] queue;
/**
* 建立一个从索引到其在二叉堆中位置的映射，下标是关联key的索引
*/
private transient int[] postQueue;
private int size = 0;
private final Comparator<? super E> comparator;
public IndexPriorityQueue() {
this(DEFAULT_INITIAL_CAPACITY, null);
}
public IndexPriorityQueue(int initialCapacity) {
this(initialCapacity, null);
}
public IndexPriorityQueue(int initialCapacity,
Comparator<? super E> comparator) {
if (initialCapacity < 1)
throw new IllegalArgumentException();
this.keys = new Object[initialCapacity];
this.queue = new int[initialCapacity];
this.postQueue = new int[initialCapacity];
for (int i = 0; i < postQueue.length; i++) {
postQueue[i] = -1;
}
this.comparator = comparator;
}
private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
/**
* 扩容
*
* @param minCapacity 所需的最小容量
*/
private void grow(int minCapacity) {
int oldCapacity = keys.length;
int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
(oldCapacity + 2) :
(oldCapacity >> 1));
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
keys = Arrays.copyOf(keys, newCapacity);
queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
postQueue = Arrays.copyOf(postQueue, newCapacity);
}
private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity < 0)
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
Integer.MAX_VALUE :
MAX_ARRAY_SIZE;
}
/**
* 返回队列是否为空
*
* @return 队列空则返回真，否则返回假
*/
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 将index关联的key加入队列
*
* @param index 索引
* @param key key
* @return
*/
public boolean offer(int index, E key) {
if (index < 0)
throw new IndexOutOfBoundsException();
if (key == null)
throw new NullPointerException();
int last = size;
//是否需要扩容
if (last >= keys.length)
grow(last + 1);
size = last + 1;
//首先将元素加入到队尾，然后从队尾上浮，直到满足堆的不变性
//index到position的映射
postQueue[index] = last;
//position到index的映射
queue[last] = index;
//保存index关联的key
keys[index] = key;
if(last == 0)
return true;
//上浮
siftUp(last);
return true;
}
/**
* 返回最优先元素,并且不删除此元素
*
* @return
*/
public int peek() {
if (size == 0)
return -1;
return getIndexOf(0);
}
/**
* 队列中是否包含指定的元素
*
* @param index 索引
* @return 如果指定的索引在队列中，返回真，否则返回假
*/
public boolean contains(int index) {
return getPositionOf(index) != -1;
}
/**
* 队列的长度
*
* @return
*/
public int size() {
return size;
}
/**
* 清空队列
*/
public void clear() {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (postQueue[i] < 0)
continue;
int index = getIndexOf(i);
keys[index] = null;
postQueue[index] = -1;
queue[i] = -1;
}
size = 0;
}
/**
* 返回最优先的元素并在队列中删除此元素
*
* @return 最优先的元素, 如果为负，表示队列已空
*/
public int poll() {
if (size == 0)
return -1;
int tail = --size;
int head = getIndexOf(0);
if(tail != 0){
exchangeByPosition(0, tail);
siftDown(0);
}
postQueue[head] = -1;
//队尾的元素经过交换后就是之前的队头，现在可以删除了
keys[getIndexOf(tail)] = null;
queue[tail] = -1;
return head;
}
private int remove(int index) {
assert index >= 0 && index < size;
if (!contains(index))
return -1;
int s = --size;
int position = getPositionOf(index);
//将堆中最后一个元素和要删除的元素交换
exchangeByPosition(position, s);
siftUp(position);
siftDown(position);
//help gc
keys[index] = null;
//标记在堆中已无此元素
postQueue[index] = -1;
return -1;
}
/**
* 上浮元素
*
* @param k 上浮开始的位置
*/
private void siftUp(int k) {
if (comparator != null)
siftUpUsingComparator(k);
else
siftUpComparable(k);
}
private void siftUpComparable(int k) {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) keys[getIndexOf(k)];
while (k > 0) {
int parent = (k - 1) >>> 1;
Object e = keys[queue[parent]];
if (key.compareTo((E) e) >= 0)
break;
exchangeByPosition(k, parent);
k = parent;
}
}
private void siftUpUsingComparator(int k) {
E key = (E) keys[getIndexOf(k)];
while (k > 0) {
int parent = (k - 1) >>> 1;
Object e = keys[queue[parent]];
//如果key不小于其父节点的key,break
if (comparator.compare(key, (E) e) >= 0)
break;
//否则交换current、parent处的元素
exchangeByPosition(k, parent);
//继续上浮
k = parent;
}
}
/**
*
* @param k
*/
private void siftDown(int k) {
if (comparator != null)
siftDownUsingComparator(k);
else
siftDownComparable(k);
}
/**
* 按位置交换
*
* @param x 一个元素的位置
* @param y 另一个元素的位置
*/
private void exchangeByPosition(int x, int y) {
int tmp = queue[x];
queue[x] = queue[y];
queue[y] = tmp;
postQueue[queue[x]] = x;
postQueue[queue[y]] = y;
}
private void siftDownComparable(int k) {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) getKeyOf(getIndexOf(k));
int half = size >>> 1;
while (k < half) {
int child = (k << 1) + 1;
Object c = getKeyOf(getIndexOf(child));
int right = child + 1;
if (right < size &&
((Comparable<? super E>) c).compareTo(getKeyOf(getIndexOf(right))) > 0)
c = getKeyOf(getIndexOf(child = right));
if (key.compareTo((E) c) <= 0)
break;
exchangeByPosition(k, child);
k = child;
}
}
private void siftDownUsingComparator(int k) {
E x = getKeyOf(getIndexOf(k));
int half = size >>> 1;
while (k < half) {
//假设作孩子是least
int child = (k << 1) + 1;
Object c = keys[child];
int right = child + 1;
//如果右孩子更小，那就和右孩子比较
if (right < size &&
comparator.compare((E) c, getKeyOf(getIndexOf(right))) > 0)
c = getKeyOf(getIndexOf(child = right));
//当元素不大于它的所有孩子时停止
if (comparator.compare(x, (E) c) <= 0)
break;
//否则交换元素和它最小的孩子
exchangeByPosition(k, child);
//继续下沉
k = child;
}
}
/**
* 将索引所关联的key降到newKey
*
* @param index 索引
* @param newKey 新的key
*/
public void decreaseKey(int index, E newKey) {
if (index < 0 || index >= queue.length)
throw new IndexOutOfBoundsException();
if (newKey == null)
throw new NullPointerException();
if (!contains(index))
throw new NoSuchElementException("指定的索引不存在!");
if (this.comparator() != null) {
if (this.comparator().compare((E) keys[index], newKey) <= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须小于原索引关联的key！");
} else {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) getKeyOf(index);
if (key.compareTo(newKey) <= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须小于原索引关联的key！");
}
keys[index] = newKey;
siftUp(getPositionOf(index));
}
/**
* 将索引所关联的key升到newKey
*
* @param index 索引
* @param newKey 新的key
*/
public void increaseKey(int index, E newKey) {
if (index < 0 || index >= queue.length)
throw new IndexOutOfBoundsException();
if (newKey == null)
throw new NullPointerException();
if (!contains(index))
throw new NoSuchElementException("指定的索引不存在!");
if (this.comparator() != null) {
if (this.comparator().compare((E) keys[index], newKey) >= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须大于原索引关联的key！");
} else {
Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) getKeyOf(index);
if (key.compareTo(newKey) >= 0)
throw new IllegalArgumentException("指定的key必须大于原索引关联的key！");
}
keys[index] = newKey;
siftDown(getPositionOf(index));
}
/**
* 调整队列以保证堆的不变性
*/
private void heapify() {
for (int i = (size >>> 1) - 1; i >= 0; i--)
siftDown(i);
}
public Comparator<? super E> comparator() {
return comparator;
}
/**
* 返回给定位置的索引
*
* @param position 二叉堆中的位置
* @return 给定位置的索引
*/
private int getIndexOf(int position) {
return queue[position];
}
/**
* 返回给定索引在二叉堆中的位置
*
* @param index 索引
* @return 给定索引在二叉堆中的位置
*/
private int getPositionOf(int index) {
return postQueue[index];
}
/**
* 返回给定索引所关联的key
*
* @param index 索引
* @return 索引所关联的key
*/
private E getKeyOf(int index) {
return (E) keys[index];
}
}
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