最小生成树-普利姆算法eager实现
算法描述
在普利姆算法的lazy实现中，参考：普利姆算法的lazy实现
我们现在来考虑这样一个问题：
我们将所有的边都加入了优先队列，但事实上，我们真的需要所有的边吗？
我们再回到普利姆算法的lazy实现，看一下这个问题：
当顺着顶点0的邻接表考察顶点7时，边7-2和边7-1被加入了优先队列Q.
然而，当我们开始对顶点2进行考察时：
边2-3是最轻边，我们显然不需要对边7-2和边7-1进行再次考察.
但是，由于边7-2和边7-1在对顶点2进行考察之前已经加入了优先队列Q，似乎我们对之前发生的事无可奈何，也必须让优先队列维护着这些不再候选的废边，从而加重了优先队列的负担，影响了效率.
结果是否真的如此？
如果我们仔细思考，会注意到我们可以采取这样的一个技巧去防止将废边加入优先队列：
我们关注的只是当前能看到的最轻边，所以边7-2和边7-1对我们来说只有这样的意义：
边7-2：到顶点2的距离是x;
边7-1：到顶点2的距离是y;
边3-2：到顶点2的距离是z.
而z > x且z >y.
所以我们既然无法避免在先于顶点2之前就将边7-2和边7-1当做废边（贪心算法），所以我们可以
采取更新的方式来在优先队列Q中维护到某个顶点的最短距离.
换句话说，我们对某个顶点，只在Q中维护一条边，就是当前已知连着它的最轻边.
由此，我们避免了将所有的边都加入优先队列Q，从而使得最差情况下Q的操作与图的顶点数V 成线性渐进：O(V ).
但一般的优先队列只提供了入队（enqueue）和出队（dequeue）操作，要更新到某个顶点的最短距离，我们需要高效地在优先队列中访问这个顶点.
那么按照一般优先队列的方式，比如jdk中的优先队列，它会是这样：
private int indexOf(Object o) {
if (o != null) {
for (int i = 0; i < size; i++)
if (o.equals(queue[i]))
return i;
}
return -1;
}这虽然可以帮助我们在队列中找到元素，但这显然不高效.
有没有一种办法可以按常量时间来找到所需元素？
答案是：索引（index）,由此：
我们需要一个对顶点在队列中的索引.
这可以保证我们以常量的时间在队列中找到顶点.
关于索引式优先队列及实现可以参考：带索引的优先队列
实现分析
万事具备，那么我们对某顶点的邻接点（或邻接的边）的遍历和处理就会是这样：
private void search(int src) {
IndexPriorityQueue<Double> q = indexCrossingEdges;
visited[src] = true;
//遍历邻接的边
for(Edge edge:g.vertices()[src].Adj) {
WeightedEdge we = (WeightedEdge)edge;
int to = we.to;
if(visited[to])
continue;
//到顶点to的距离可以改善了
if(we.weight < distanceTo[to]) {
distanceTo[to] = we.weight;
lastEdgeTo[to] = we;
if(q.contains(to)) {
//我们在队列中只维护一条到某个顶点的距离
//在我们可以改善到这个顶点的距离是，我们更新它
q.decreaseKey(to, distanceTo[to]);
}else {
q.offer(to, distanceTo[to]);
}
}
}
}
}算法一开始的时候，我们从源点v出发，将其加入队列Q，然后开始进行mst的建立工作：
private void mst(int v) {
IndexPriorityQueue<Double> q = indexCrossingEdges;
distanceTo[v] = 0.0d;
q.offer(v, distanceTo[v]);
while (!q.isEmpty()) {
int src = q.poll();
search(src);
}
}完整实现
普利姆算法的完整eager实现如下,其中的一些类和字段不明白的
请参考：普利姆算法的lazy实现
/**
* Created by 浩然 on 4/21/15.
*/
public class EagerPrim extends LazyPrim {
protected WeightedEdge[] lastEdgeTo;
/**
* 索引式优先队列，用于维护crossing edges
* 用于在eager普利姆算法中高效返回最轻边并支持decrease-key操作
*/
protected IndexPriorityQueue<Double> indexCrossingEdges;
public EagerPrim(WeightedUndirectedGraph g) {
super(g);
}
@Override
protected void resetMemo() {
super.resetMemo();
lastEdgeTo = new WeightedEdge[g.vertexCount()];
//重置优先队列
indexCrossingEdges = new IndexPriorityQueue<>();
}
private void setupMST() {
for (int v = 0; v < lastEdgeTo.length; v++) {
WeightedEdge we = lastEdgeTo[v];
if (we != null) {
mst.offer(we);
mstWeight += we.weight;
}
}
}
/**
* eager-prim算法，时间复杂度为最差O(ElogV)
*/
@Override
public void performMST() {
resetMemo();
//对图中的所有顶点进行遍历，可以找出MSF（最小生成森林）
//这里我们假设图是连通的，所以可以找出一棵MST
mst(0);
setupMST();
}
private void mst(int v) {
IndexPriorityQueue<Double> q = indexCrossingEdges;
distanceTo[v] = 0.0d;
q.offer(v, distanceTo[v]);
while (!q.isEmpty()) {
int src = q.poll();
search(src);
}
}
private void search(int src) {
IndexPriorityQueue<Double> q = indexCrossingEdges;
visited[src] = true;
//遍历邻接的边
for(Edge edge:g.vertices()[src].Adj) {
WeightedEdge we = (WeightedEdge)edge;
int to = we.to;
if(visited[to])
continue;
//到顶点to的距离可以改善了
if(we.weight < distanceTo[to]) {
distanceTo[to] = we.weight;
lastEdgeTo[to] = we;
if(q.contains(to)) {
//我们在队列中只维护一条到某个顶点的距离
//在我们可以改善到这个顶点的距离是，我们更新它
q.decreaseKey(to, distanceTo[to]);
}else {
q.offer(to, distanceTo[to]);
}
}
}
}
}时间复杂度
由于避免了对废弃边的访问，所以在优先队列中最多维护V条记录.
优先队列的操作耗时O(logV ).
遍历所有边的操作耗时O(E ),则整体耗时O(ElogV)
