理论
设原始图像的任意点 \(P_0(x_0, y_0)\) 经顺时针旋转 \(\beta\) 角度后到新的位置 \(P(x,y)\)，为表示方便，采用极坐标形式表示，原始点的角度为 \(\alpha\)。根据极坐标与直角坐标的关系，原始图像的点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的极坐标为
\[\left\{
\begin{matrix}
x_0 = r {\rm cos} \alpha \\
y_0 = r {\rm sin} \alpha
\end{matrix}
\right.
\]
旋转到新位置以后 \(P(x, y)\) 的极坐标为
\[\left\{
\begin{matrix}
x = r {\rm cos} (\alpha - \beta) = r{\rm cos}\alpha {\rm cos} \beta + r{\rm sin}\alpha {\rm sin}\beta\\
y = r {\rm sin} (\alpha - \beta) = r{\rm sin}\alpha {\rm cos} \beta - r{\rm cos}\alpha {\rm sin}\beta
\end{matrix}
\right.
\]
由于旋转后的点 \(P(x, y)\) 需要用 \(P_0(x_0, y_0)\) 表示，对上式进行简化，得
\[\left\{
\begin{matrix}
x = x_0 {\rm cos} \beta + y_0{\rm sin}\beta\\
y = -x_0 {\rm sin} \beta + y_0 {\rm cos}\beta
\end{matrix}
\right.
\]
用矩阵表示如下：
\[\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
{\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\
-{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x_0 \\
y_0 \\
1
\end{matrix}\right]
\]
记上式中变换矩阵为
\[R =
\left[\begin{matrix}
{\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\
-{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\]
为旋转矩阵。
上述变换是针对原点的，如果指定了旋转中心，可以先按上述方式进行旋转，再把旋转后的中心平移到旋转前的中心。具体地，设旋转前的中线坐标为 \(C_0(x_0, y_0)\)，则旋转后的坐标为 \(C(x,y)\)，根据上面的关系，两个点的坐标关系即由上面矩阵变换确定。则旋转中心平移量为 \(\vec{CC_0}=C_0 - C\)，代入 \((x,y)\)，可得
\[\vec{CC_0}=
\left[
\begin{matrix}
\Delta x\\
\Delta y
\end{matrix}
\right]
= \left[
\begin{matrix}
x_0 - x\\
y_0 - y
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
x_0(1-{\rm cos} \beta) - y_0{\rm sin}\beta\\
x_0 {\rm sin} \beta + y_0 (1 - {\rm sin}\alpha)
\end{matrix}
\right]
\]
根据上一节，则平移对应的平移矩阵为
\[T = \left[\begin{matrix}
1 & 0 & \Delta x\\
0 & 1 & \Delta y\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\]
则旋转后再平移，对应矩阵为
\[M = TR = \left[\begin{matrix}
1 & 0 & \Delta x\\
0 & 1 & \Delta y\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
{\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\
-{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
{\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & \Delta x\\
-{\rm sin} \beta & {\rm cos}\beta &\Delta y\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
{\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & x_0(1-{\rm cos} \beta) - y_0{\rm sin}\beta \\
-{\rm sin} \beta & {\rm cos}\beta &x_0 {\rm sin} \beta + y_0 (1 - {\rm sin}\alpha)\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\]
对于 OPENCV 的
cv2.getRotationMatrix2D()
乘以缩放系数，并取了上述变换矩阵 \(M\) 的前两行（第三行恒为 \([0,0,1]\)。
实现
代码
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def show(img):
if img.ndim == 2:
plt.imshow(img, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
else:
img = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB)
plt.imshow(img)
plt.show()
img = cv.imread('pic/rabbit500x333.jpg')
# 以（80，100）为中心，顺时针旋转45度
rotateM = cv.getRotationMatrix2D((80, 100), 45, 1)
img_rotate = cv.warpAffine(img, rotateM, dsize=(500, 500))
show(img_rotate)
效果
说明：
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- 本教程为《数字图像处理Python OpenCV实战》的配套代码相关内容。
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所有课件及源代码可在此处下载：
链接：https://pan.baidu.com/s/198PySe_vebO3e06idHSQ6g
提取码：11o4
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