矩阵p范数

设矩阵 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，则有下列矩阵范数：

\[\lVert A\rVert_{m1}=\sum\limits_{i,j}|a_{ij} \]

\[\lVert A\rVert_{m2}=(\sum\limits_{i,j}|a_{ij}^2)^{1/2}=(trA^HA)^{1/2}=(trAA^H)^{1/2} \]

\[\lVert A\rVert_{m\infty}=\max\limits_{i,j}{|a_{ij}|} \]

\(\lVert A\rVert_{m2}\)又记为\(\lVert A\rVert_F\)，称为Frobenius范数，简称F范数。

算子范数

设\(\lVert\cdot\rVert_{\nu_n}, \lVert\cdot\rVert_{\nu_m}\)分别是\(C^n, C^m\)上的范数，定义\(C^{m\times n}\)上的实值函数\(\lVert\cdot\rVert\)：

\[\lVert A\rVert = \max\limits_{\theta\ne x\in C^n} \frac{\lVert Ax\rVert_{\nu_m}}{\lVert x\rVert_{\nu_n}} \]

称\(\lVert\cdot\rVert\)是由\(\lVert\cdot\rVert_{\nu_n}, \lVert\cdot\rVert_{\nu_m}\)诱导的算子范数。

设\(A=(a_{ij})_{s\times n}\)，则

\[\lVert A\rVert_1 = \max\limits_{1\le j\le n}{\sum\limits_{i=1}^s |a_{ij}|} \]

被称作列模和范数，就列和的最大值。

\[\lVert A\rVert_2 = \sqrt{\rho(A^HA)} \]

被称作谱范数，\(\rho(M)\)代表\(M\)的谱半径，通常即为\(M\)最大特征值。

\[\lVert A\rVert_\infty = \max\limits_{1\le i\le s}{\sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}|} \]

被称作行模和范数。

题目

设\(A\in C^{n\times n}\)，试证：
（1） 若\(A^HA=I\)，则\(\lVert A\rVert_F=\sqrt{n}, \lVert A\rVert_2=1\)；
（2） \(\lVert A\rVert_2\le \lVert A\rVert_F \le \sqrt{n}\lVert A\rVert_2\)。

解答

（1）直接根据定义导出的运算结果计算即可，迹等于特征值之和，谱半径等于最大特征值。\(\lVert A\rVert_F= \sqrt{tr A^HA}=\sqrt{tr I}=\sqrt{n}\)，\(\lVert A\rVert_2=\sqrt{\rho(A^HA)} = \sqrt{\rho(I)}=1\)。

（2）设矩阵 \(B=A^HA\)的特征值为 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\ge 0\)（因为\(B\)为H阵，半正定，所有特征值均非负），则\(\lVert A\rVert_2 = \sqrt{\lambda_1}\)，\(\lVert A\rVert_F=\sqrt{\lambda_1 + \cdots + \lambda_n}\)，根据这些关系，很容易证明需要证明的不等式，此处略。