范数定义

设\(V\)是数域\(F\)上线性空间，\(\nu\)是定义在\(V\)上的实值函数。如果\(\nu\)满足：

  1. 对任意\(\theta\ne\alpha\in V, \nu(\alpha)>0\)
  2. 对任意\(\alpha\in V, k\in F, \nu(k\alpha)=|k|\nu(\alpha)\)
  3. 对任意\(\alpha, \beta\in V, \nu(\alpha+\beta)\le\nu(\alpha)+\nu(\beta)\)
    则称\(\nu\)是\(V\)上的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。

范数的相容性定义

设\(C^{s\times m}, C^{m\times n}, C^{s\times n}\)中定义了范数\(\lVert\cdot\rVert_a, \lVert\cdot\rVert_b, \lVert\cdot\rVert_c\)，若对\(\forall A\in C^{s\times m}, B\in C^{m\times n}\)

\[\lVert AB\rVert_c\le \lVert A\rVert_a \lVert B\rVert_b \]

则称范数\(\lVert\cdot\rVert_a,\lVert\cdot\rVert_b,\lVert\cdot\rVert_c\)是相容的。

说明：题目中通常三种范数定义在同一个线性空间，范数也一样。

题目

设\(\lVert\cdot\rVert\)为\(C^{n\times n}\)上相容的范数，试证：
（1） \(\lVert I\rVert\ge 1\)；
（2） 若\(A\)为可逆阵，\(\lambda\)为\(A\)的特征值，则\(\lVert A^{-1}\rVert^{-1}\le |\lambda| \le \lVert A\rVert\)。

解答

（1）根据范数的相容性，有

\[\lVert I\rVert = \lVert II\rVert \le \lVert I\rVert \lVert I\rVert \]

最左面和最右面消去 \(\lVert I\rVert\)，得\(\lVert I\rVert \gt 1\)。

（2）设\(\eta\)是\(A\)对于于\(\lambda\)的特征向量，由于\(\lVert\cdot\rVert\)定义在\(C^{n\times n}\)上，则扩展\(\eta\)成矩阵，令\(B=(\eta,\theta, \cdots,\theta)_{n\times n}\)，则

\[\begin{aligned} AB=(A\eta, \theta,\cdots,\theta)&=(\lambda \eta, \theta, \cdots, \theta) &=\lambda(\eta, \theta,\cdots,\theta) &=\lambda B \end{aligned} \]

根据范数相容性，有

\[\lVert AB\rVert = \lVert\lambda B\rVert = |\lambda|\lVert B\rVert \le \lVert A\rVert \lVert B\rVert \]

两边约去\(\lVert B\rVert\)，得 \(|\lambda|\le \lVert A\rVert\)。
同样的方法，利用互逆矩阵的对应特征值互为倒数，可以证明\(\lVert A^{-1}\rVert^{-1}\le |\lambda|\)。