定义
设\(A\)是\(n\)阶\(H\)阵，则\(\forall x\in C^n, x^HAx\in R\). 于是，可以定义一复变量的实值函数
\[R(x) = \frac{x^HAx}{x^Hx},\ \forall \theta\ne x\in C^n
\]
称此函数为\(A\)的Rayleigh商。
定理
假设H阵\(A\in C^{n\times n}\)，\(A\)的特征值\(\lambda_1\le \lambda_2\le\cdots\le\lambda_n\)，则
\[\lambda_1 = \min\limits_{\theta\ne x\in C^n}R(x),\ \lambda_n = \max\limits_{\theta\ne x\in C^n}R(x),
\]
证明
设\(\eta_1,\cdots, \eta_n\)是\(A\)相对于\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)的两两正交的单位特征向量，即\(\eta_1,\cdots,\eta_n\)是\(C^n\)的标准正交基。
则\(\forall \theta\ne x\in C^n, x = k_1\eta_1+\cdots+k_n\eta_n\)，其中\(k_1,\cdots,k_n\)就是\(x\)在基下的坐标。因此
\[\begin{aligned}
x^HAx &= x^H(Ax) = x^H(\lambda x) = x^H(\lambda_1 k_1\eta_1+\cdots+\lambda_n k_n\eta_n)\\
&= \lambda_1\bar{k_1}k_1 + \cdots + \lambda_n\bar{k_n}k_n\\
&\ge \lambda_1(\bar{k_1}k_1+\cdots+\bar{k_n}{k_n})\\
&= \lambda_1 x^Hx
\end{aligned}
\]
上述证明中利用在标准正交基下，两个向量的内积等于它俩坐标的内积。
由上述证明两端式子，可得
\[\lambda_1 \le \frac{x^Hx}{x^Hx}
\]
这里还需要说明等号可以取到，事实上，取 \(x=\eta_1\)，此时
\[\frac{x^HAx}{x^Hx} = \frac{\eta_1^H(\lambda_1\eta_1)}{\eta_1^H\eta_1}=\lambda_1
\]
因此，\(\lambda_1 = \min\limits_{\theta\ne x\in C^n}R(x)\)。\(\ \lambda_n = \max\limits_{\theta\ne x\in C^n}R(x)\)的证明类似，不再赘述。
补充：利用类似的方法，可以证明对于任意酉矩阵\(A\)（\(A\)不一定是H阵），有\(\max\limits_{\theta\ne x\in C^n}\frac{|x^HAx|}{x^Hx}=1\)，证明过程中会用到酉矩阵的特征值的模均为1.
