定理

设 \(A\)是 \(n\times n\)的Hermite阵，则下述条件等价：
1） \(A\) 是正定的；
2） \(A\) 的特征值均大于零；
3） \(A\) 与 \(I\) 共轭合同；
4） 存在可逆阵 \(P\) 使得 \(A= P^HP\)；
5） \(A\) 的各顺序主子式均大于零。

注意：讨论正定主要是针对H阵，因为H阵与二次型多项式对应。

题目

设 \(A, B\) 为同阶Hermite矩阵，且\(A\)为正定阵，试证：\(AB\)的特征值均为实数。

提示：

  1. 相似的矩阵具有相同的特征值；
  2. A是H阵的充要条件是A的特征值均是实数，证明见此处的题目；

解答

思路：要证明 \(AB\) 的特征值均为实数，不好直接证明 \(AB\) 是H阵，此处通过证明 \(AB\) 与H阵相似来证明。如果 \(AB\sim H\)（表示\(AB\)和H阵相似），则\(AB\)与对应的H阵有相同的特征值，而H阵的特征值均为实数。

证明：因为 \(A\) 是正定阵，根据定理中第4）条，\(\exists\)可逆矩阵\(P\)，使得\(A=P^HP\)。

\[AB\sim (P^H)^{-1}ABP^H = (P^H)^{-1}P^HPBP^H = PBP^H \]

因为 \((PBP^H)^H = PBP^H\)，所以 \(PBP^H\) 是一个H阵，故 \(AB\) 相似于H阵，所以\(AB\)的特征值均为实数。