矩阵论练习29（H阵和正规阵）

定义

H阵：设$A\in C^{n\times n}$，若有 $A^H = A$，则称矩阵 $A$ 为Hermite矩阵，简称为H阵。
正规阵：设$A\in C^{n\times n}$，则称 $A$ 是正规阵。
直接根据定义，容易证明H阵是的正规阵的子集。

定理

1. $A\in C^{n\times n}$ 是正规阵 $\iff$ $A$ 酉相似于对角阵。
2. H 阵的特征值均是实数。
3. H 阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

题目

设$A$为正规阵，证明：
1）$A$为H阵 $\iff$ $A$的特征值全是实数；
2）$A$为酉矩阵 $\iff$ $A$的特征值的模全为1.

解答

1）必要性：设$lambda$是$A$的一个特征值，对于特征向量$\eta\ne \theta$。
则$A\eta = \lambda \eta$ (1)
此外，由$A$是H阵，则$A^H = H$ （2）
由式（1），$\eta^HA\eta = \eta^H(A\eta)=\eta^H\lambda\eta = \lambda\eta^H\eta$ （3）
结合式（2），$\eta^HA\eta=\eta^HA^H\eta = (A\eta)^H\eta = (\lambda\eta)^H\eta=\lambda^H\eta^H\eta$ （4）
由（3）、（4）式左右两边相等，可得 $\lambda^H = \lambda$，故$\lambda$为实数，因此$A$的特征值全是实数。

充分性：
由$A$是正规阵，则存在酉矩阵$U$，使得$U^HAU = \Lambda$，则$A = U\Lambda U^H$，注意到酉矩阵的逆矩阵即为共轭转置。
此时$A^H = U^{H^H}\Lambda^H U^H = U\Lambda U^H = A$，则$A$是H阵。前面等式用到两次共轭转置等于原来矩阵，以及实对角矩阵的共轭转置等于自身。

2）必要性：由$A$是正规阵和酉矩阵，则存在酉矩阵$U$，使得$U^HAU =\Lambda$，$\Lambda$是多个酉矩阵的连乘，所以也是酉矩阵，且 $\Lambda^H\Lambda = I$，则 $\lambda_i \bar{\lambda_i} = 1$，即$A$的特征值的模为1.

充分性：设$A$相似的对角阵为$\Lambda$，即$U^HAU = \Lambda$，则由于$A$的特征值的模全为1，易得 $\Lambda^H \Lambda = I$，则由 $A=U\Lambda U^H$ 可得$A$ 是酉矩阵。