定义

H阵：设\(A\in C^{n\times n}\)，若有 \(A^H = A\)，则称矩阵 \(A\) 为Hermite矩阵，简称为H阵。
正规阵：设\(A\in C^{n\times n}\)，则称 \(A\) 是正规阵。
直接根据定义，容易证明H阵是的正规阵的子集。

定理

  1. \(A\in C^{n\times n}\) 是正规阵 \(\iff\) \(A\) 酉相似于对角阵。
  2. H 阵的特征值均是实数。
  3. H 阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

题目

设\(A\)为正规阵，证明：
1）\(A\)为H阵 \(\iff\) \(A\)的特征值全是实数；
2）\(A\)为酉矩阵 \(\iff\) \(A\)的特征值的模全为1.

解答

1）必要性：设\(lambda\)是\(A\)的一个特征值，对于特征向量\(\eta\ne \theta\)。
则\(A\eta = \lambda \eta\) (1)
此外，由\(A\)是H阵，则\(A^H = H\) （2）
由式（1），\(\eta^HA\eta = \eta^H(A\eta)=\eta^H\lambda\eta = \lambda\eta^H\eta\) （3）
结合式（2），\(\eta^HA\eta=\eta^HA^H\eta = (A\eta)^H\eta = (\lambda\eta)^H\eta=\lambda^H\eta^H\eta\) （4）
由（3）、（4）式左右两边相等，可得 \(\lambda^H = \lambda\)，故\(\lambda\)为实数，因此\(A\)的特征值全是实数。

充分性：
由\(A\)是正规阵，则存在酉矩阵\(U\)，使得\(U^HAU = \Lambda\)，则\(A = U\Lambda U^H\)，注意到酉矩阵的逆矩阵即为共轭转置。
此时\(A^H = U^{H^H}\Lambda^H U^H = U\Lambda U^H = A\)，则\(A\)是H阵。前面等式用到两次共轭转置等于原来矩阵，以及实对角矩阵的共轭转置等于自身。

2）必要性：由\(A\)是正规阵和酉矩阵，则存在酉矩阵\(U\)，使得\(U^HAU =\Lambda\)，\(\Lambda\)是多个酉矩阵的连乘，所以也是酉矩阵，且 \(\Lambda^H\Lambda = I\)，则 \(\lambda_i \bar{\lambda_i} = 1\)，即\(A\)的特征值的模为1.

充分性：设\(A\)相似的对角阵为\(\Lambda\)，即\(U^HAU = \Lambda\)，则由于\(A\)的特征值的模全为1，易得 \(\Lambda^H \Lambda = I\)，则由 \(A=U\Lambda U^H\) 可得\(A\) 是酉矩阵。