Jordan标准型矩阵的定义很简单，矩阵比较多，不好打，略过。
Jordan标准型与最小多项式有密切关系。
定理1
若矩阵\(J\)为矩阵\(A\)的若当标准型矩阵，\(\lambda\)是任意数字，则对一切正整数\(n\)，有 \(Rank(A-\lambda I)^k = Rank(J-\lambda I)^k\)。
证明定理1可以根据Jordan的由来证明，即存在可逆矩阵\(P\)使得\(P^{-1}AP=J\)，乘可逆矩阵不改变秩。
定理2
若 \(M=\left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}\right)\)，则矩阵 \(M, A, B\)的最小多项式为之间有关系：\(m_M(\lambda)=[m_A(\lambda), m_B(\lambda)]\)，中括号代表取最小公倍数。
定理3
假设矩阵\(A\)的最小多项式是\(m(\lambda)=\prod_{i=1}^s(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\)，则\(r_i\)即使\(A\)的Jordan标准型中以\(\lambda_i\)为主对角元的最高阶数。特别地，\(A\)相似于对角阵\(\iff\) \(A\)的最小多项式无重根。
题目
根据矩阵\(A\)及其特征多项式求\(A\)的Jordan标准型。
\[A = \left(\begin{matrix}
-1 & -2 & 6\\
-1 & 0 & 3\\
-1 & -1 & 4
\end{matrix}\right),
B = \left(\begin{matrix}
13 & 16 & 16\\
-5 & -7 & -6\\
-6 & -8 & -7
\end{matrix}\right)\\
C_A(x)=(x-1)^3,
C_B(x)=(x+3)(x-1)^2
\]
解答
通常要求矩阵的Jordan标准型，可以分为以下步骤：
- 求原矩阵的特征值；
- 以特征值为对角线元素，结合定理1（秩）或定理3（最小多项式）确定若当标准型。
可以写出，\(A\)的特征值为1,1,1，可能的Jordan标准型有三个，如下：
\[J_1= \left(\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right),
J_2= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right),
J_3= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\\
\]
- 下面逐一判断。如果是\(J_1\)，则存在可逆矩阵\(P\)，使得\(A=P^{-1}J_1P=I\)，显然与\(A\)不相等，排除；
- 计算秩，\(Rank(A-1I)=1\)，显然\(Rank(J_2-1I)=1, Rank(J_3-1I)=2\)，所以\(J_2\)是矩阵\(A\)的Jordan标准型。这里说显然，是真的显然，对于Jordan矩阵，减去特征值，根据非零行和列即可马上判断出秩。
对于矩阵\(B\)，最终求出的结果是
\[J_B = \left(\begin{matrix}
-3 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\\
\]
对角线元素可交换算作是同一个Jordan标准型。
