定义
矩阵\(A\)的次数最低的、最高次数为\(1\)的化零多项式称为\(A\)的最小多项式。
定理
设 \(m(x)\),\(C(x)\) 分别是矩阵\(A\)的最小多项式和特征多项式，则 \(m(x)|C(x)\)，并且，对 \(\lambda_0\in C\)(这里\(C\)指复数域)，\(m(\lambda_0)=0\Leftrightarrow C(\lambda_0)=0\)。
需要注意的是，最小多项式的重根次数不一定为\(1\)。
题目一
求下列矩阵的最小多项式：
\(\left(
\begin{matrix}
a & &\\
& a &\\
& &a
\end{matrix}
\right)\)， \(\left(
\begin{matrix}
a & 1 &\\
& a &0\\
& &a
\end{matrix}
\right)\)， \(\left(
\begin{matrix}
a & 1 &\\
& a &1\\
& &a
\end{matrix}
\right)\).
解答
上面3个矩阵的特征多项式均为 \(C(\lambda)=(\lambda-a)^3\)，最小多项式只能是该多项式的因式。
第1个矩阵: 假设 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)，则 \(m(A)=(A-aI)=O\)，
因此第1个矩阵的最小多项式为 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)；
第2个矩阵: 假设 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)，则 \(m(A)=(A-aI)\ne O\)；
再假设\(m(\lambda)=(\lambda-a)^2\)， 发现\(m(A)=(A-aI)^2=O\)
因此第1个矩阵的最小多项式为 \(m(\lambda)=(\lambda-a)^2\)；
同理，可以求出第三个矩阵的最小多项式为 \(m(\lambda)=(\lambda-a)^3\)。
题目二
设 \(\alpha=(a_1,\cdots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,\cdots,b_n)^T\). 求\(A\)的最小多项式。
解答
\(A\)的特征多项式为\(C(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-<\alpha,\beta>)\)，参见矩阵的秩与特征多项式。
-
若 \(\alpha,\beta\) 不相互垂直，取\(m(\lambda)=\lambda(\lambda-<\alpha,\beta>)\)，
代入\(A\)，得\(m(A)=O\)，则求出\(A\)的最小多项式；其中可以求出 \(A^2=<\alpha,\beta>A\) -
若 \(\alpha\perp\beta\)，\(C(\lambda)=\lambda^n\)。
- 若 \(A=O\)或者\(B=O\)，此时 \(A=O\)，即得最小多项式为\(m(\lambda)=\lambda\)
- 若 \(A\ne O\)且\(B\ne O\)，此时 \(A\ne O\), 根据 \(A^2=<\alpha,\beta>A\) 和 \(\alpha\perp\beta\)，可得 \(A^2=O\)，因此最小多项式为 \(m(\lambda)=\lambda^2\)。
