定义

假设 \(f\in Hom(V,V)\)，\(\lambda_0\in F\)，\(\eta\in V,\eta\ne\theta\). 如果 \(f(\eta)=\lambda_0\eta\)，则称 \(\lambda_0\) 是 \(f\) 的特征值，\(\eta\) 是 \(f\) 的特征向量。

题目

\(f\in Hom(C^{2\times 2},C^{2\times 2})\) 定义为：\(\forall X\in C^{2\times 2},f(X)=\left [\begin{matrix} 1 & 1\\ -1& -1 \end{matrix} \right ] X\)，
求 \(f\) 得特征值、特征向量。

解答

在 \(C^{2\times 2}\) 中选定一组基 \(E_{11},E_{21},E_{12},E_{22}\)，这里顺序变一下方便后的计算。在这组基下， \(f\) 的矩阵为

\[A = \left [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right ] \]

\(A\) 的特征多项式为 \(|\lambda I-A| = \lambda^4\)，易得 \(f\) 的特征值为 \(0\)。
要求特征向量，将特征值带入，有 \((A-0I)x=\theta\)，即 \(Ax=\theta\)，解得 \(x=k_1[1,-1,0,0]^T + k_2[0,0,1,-1]^T\)。
因此，\(f\) 的特征向量为 \(\eta = [E_{11},E_{21},E_{12},E_{22}]x=\left [\begin{matrix} k_1 & k_2\\ -k_1& -k_2 \end{matrix} \right ]x\)，\(k_1,k_2\) 不全为 \(0\)。

可以验证， \(f(\eta)=\left [\begin{matrix} 1 & 1\\ -1& -1 \end{matrix} \right ] \left [\begin{matrix} k_1 & k_2\\ -k_1& -k_2 \end{matrix} \right ] = O = \lambda \eta\)。